Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
принципом виртуальной работы. - Прим. ред.
22
Глава II
Эти уравнения могут быть решены, и в соответствии с этим в состоянии
равновесия можно определить некоторые численные значения координат
ql=al (г = 1, 2, ..., п). (4)
Кроме того, как легко видеть, равновесие является устойчивым, если V
достигает абсолютного минимума1. В соответствии с интегралом энергии (2),
если происходит малое отклонение от равновесия, то, поскольку Т не может
стать отрицательной, V может измениться от своего равновесного значения
также только на малую величину. Это означает, в свою очередь, что ни одна
из координат не может отклоняться от положения равновесия более чем на
малую величину, поэтому во время движения система должна оставаться в
непосредственной близости от конфигурации равновесия, что и определяет
устойчивость.
2. Линейный ряд конфигураций
Пусть система описывается каким-либо параметром д, который сам по себе не
зависит от обобщённых координат, однако в силу каких-то внешних причин
может медленно изменяться. Тогда потенциал V и значения , являющиеся
решениями уравнений (3), оказываются зависящими от него. Таким образом,
частные решения (4) можно записать в виде функций от д
4i = аг(г) (г = 1, 2, , гг).
Если д получает некоторое изменение фг, то
П(1 -
qi = а,г(ц + dn) = аг + (5)
При этом исходная конфигурация переходит в смежную конфигурацию с
несколько другим значением д. Таким образом, начиная с какого-либо
выделенного состояния равновесия, при последовательном изменении д мы
получаем непрерывный ряд других возможных конфигураций. Такое множество
конфигураций Пуанкаре назвал "линейным рядом". Суть идеи здесь
заключается в том, что внутри системы существует постоянно меняющийся
параметр, но это изменение никак, однако, не влияет на состояние
равновесия.
1 Именно это и утверждает известная теорема Лагранжа.
Устойчивость
23
Рис. 1
3. Устойчивость
Теперь рассмотрим, что может произойти с устойчивостью системы при её
постепенном движении вдоль линейного ряда. Сначала исследуем этот вопрос
графически. Если примем набор ((/*, /г) в качестве декартовых координат
(ц-ордината), то уравнение
V(qi,fi) = V (6)
в двумерном случае будет описывать семейство кривых, в трёхмерном -
семейство поверхностей; если координат ^ больше двух, это уравнение будет
представлять собой гиперповерхности. Поскольку существует только одно
значение V для данной точки (д*, /г), то эти поверхности не
пересекаются1. Условие, при котором касательная плоскость к П-поверхности
будет перпендикулярна оси /г, следующее: dV = О при dfi = 0, что
равносильно уравнениям (3). Следовательно, конфигурации равновесия
соответствуют точкам, где У-поверхности горизонтальны. Пусть на рис. 1 Vi
и V2 представляют две поверхности данного семейства, и пусть V2 > V\.
Тогда, как показано на рисунке, точка Р\ представляет конфигурацию
равновесия, а соответствующим значением [1 будет ц\. Следовательно,
выделенная линия, соединяющая последовательно точки равновесия Pi, Рг,
... и представляет собой линейный ряд.
1Речь идёт о поверхностях уровня потенциальной энергии. - Прим. ред.
24
Глава II
Малые смещения системы без изменения д, например, при д = дг будут
обозначаться точками типа Р{ в касательной плоскости, проходящей через
точку Pi. При данных обстоятельствах такие изменения приведут к
увеличению потенциальной энергии в случае, если V-no-верхности окажутся
выпуклыми. Таким образом, условие устойчивости может быть сформулировано
в том виде, что Н-поверхности должны быть выпуклыми.
Очевидно, что если бы направление увеличения V для настоящего примера
было в обратную сторону, то для устойчивого состояния потребовались бы
уже вогнутые поверхности.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что правило устойчивости
требует вогнутости поверхностей в направлении понижения V.
4. Обмен устойчивостью
По мере продвижения вдоль линейного ряда никаких новых характерных
особенностей не возникает до тех пор, пока Н-поверхности остаются
вогнутыми в том же направлении. Однако может случиться так, что они
постепенно трансформируются одним из способов, показанных на диаграммах
(рис. 2), где иллюстрируются некоторые возможные формы для Н-
поверхностей. Аналитическое исследование, данное ниже, охватывает все
возможные случаи. Рассмотрим эти четыре примера.
(I) При условии, что линейный ряд расположен в направлении, указанном
стрелкой, вогнутости постепенно меняют свою форму, и появляется уже
выпуклость1. Соответственно в критической точке С другой линейный ряд ВС
В пересекает первоначальный линейный ряд А\С А2-Точка пересечения
называется "точкой бифуркации", и соответствующая ей равновесная
конфигурация - "фигурой бифуркации". Если поначалу ряд А\С был
устойчивым, то изменение выпуклости на вогнутость означает, что за точкой
С продолжение ряда СА2 должно быть неустойчивым, т. е. в точке С исходный
ряд теряет свою устойчивость. С другой стороны, в описанном нами случае у
