Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости заведомо выполняется, пока вековая неустойчивость не
наступила. В принципе, вопрос о динамической устойчивости требует
совершенно другого подхода, т. к. для его решения необходимо изучить
действительные периоды возможных малых колебаний системы, а не то, каким
образом отдельный показатель, такой, как момент количества движения
(угловой момент), изменяется на начальной стадии грушевидного ряда.
Проблему определения обыкновенной устойчивости ряда Якоби разрешил Картан
(Cartan). Он с успехом доказал, что при деформации гармонической функцией
третьего порядка эллипсоиды Якоби одновременно приобретают и вековую и
обыкновенную неустойчивости1.
Обладая такой информацией, можно более подробно изучить поведение жидкой
массы за критической фигурой Якоби. Если свободная поверхность получает
смещение (включающее гармонические функции третьего порядка), и если
допустить, что любое общее (внешнее, Б. К.) физическое возмущение
содержит подобные же члены, то амплитуды вне зависимости от трения начнут
возрастать экспоненциально со временем. Эта система больше не сможет
совершать колебания около равновесной формы, т. к. устойчивости нет, и
вместо колебаний будет происходить динамическое движение до тех пор, пока
система не достигнет нового устойчивого состояния. Уравнения движения
системы в первом приближении позволяют проследить её развитие только до
тех пор, пока скорости и смещения остаются малыми. Большего линейные
уравнения дать не могут. Но так или иначе, в конечном счёте система
должна достигнуть какого-то другого устойчивого состояния, в котором не
происходит дальнейшего рассеивания энергии. И тут возникает интересный
вопрос: какой будет конечная конфигурация. К сожалению, с помощью
доступных точных методов детально этот вопрос исследовать невозможно. Но
вполне может быть, как раньше и предполагалось, что конечным результатом
будет деление первоначальной
1Иным способом этот важный результат был доказан в работе [5]. - Прим.
ред.
20
Глава I
массы на две отдельные части. Однако если эта точка зрения окажется
верной, то обязательно возникнет существенное отличие от идей Дарвина в
отношении пути развития, т. к. очевидно, что полученные части должны
иметь совершенно разные размеры, и, что ещё более важно, они будут до
бесконечности удаляться друг от друга. Конечное устойчивое состояние
будет представлено двумя отдельными неравными устойчивыми массами,
удаляющимися друг от друга с постоянной относительной скоростью. Тот
избыток углового момента, который вызвал неустойчивость, определит собой
и величину орбитального углового момента этой пары^5).
С точки зрения космогонии важно как можно детальнее описать такой путь
развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную
проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень
разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер.
Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во
всей полноте. И всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание
тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности
упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему
устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует
обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия
и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов
динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального
гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций
Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению
результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости
последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание
исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В
заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные
применения в космогонии.
Глава II Устойчивость
Устойчивость статических систем
1. Конфигурации равновесия
Рассмотрим механическую систему, положение которой можно задать с помощью
п обобщенных координат q\, q2, ..., qn, а движение в каждый момент
времени - с помощью обобщенных скоростей (ji, <j2, ¦ • ¦, qn, где точки
обозначают дифференцирование по времени t. Допустим, что силы,
действующие на систему, являются производными от потенциальной энергии V,
которая зависит только от заданных координат, т. е.
V = V(qt).
Кинетическая энергия Т в общем случае зависит как от координат, так и от
скоростей и является однородной квадратичной функцией последних. Таким
образом,
Т = T(qh сц).
Движение системы будет происходить в соответствии с уравнениями Лагранжа
Kg)-g = -g " = '.'• "
которые обладают интегралом энергии
Т + V = const. (2)
Отсюда возможные конфигурации равновесия в выбранных координатах
определяются п уравнениями
g=0 (г = 1, 2, (3)
которые являются просто условиями стационарности V1.
1 Условия стационарности потенциальной энергии определяются известным
