Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
возможность дальнейшего внутреннего сжатия).
Если допустить, что при другом экстремуме два разделившихся компонента
образуют тела, вращением которых можно пренебречь, так что они сохранят
наименьшее возможное количество энергии, то внутренняя энергия этих
частей будет задана соответствующим выражением для сферической формы
(глава IV, уравнение 6), а энергетическое условие полного отделения
компонентов, опуская общие множители, будет равно
-0,745 ^ -0,967т5/3 - 0,967(1 - т)5/3,
ИЛИ
0,77 т5/3 + (1 -т)5/3.
Отсюда находим т < 0,19, что даёт предельное отношение масс, большее, чем
4:1. Но в действительности, в любом случае отношение масс должно
превышать это значение, т. к. компоненты обязательно будут иметь
некоторое вращательное движение.
Если сделать обоснованное предположение, что угловая скорость данных
компонентов является такой же, как и у критического эллипсоида, а
отдельные части имеют форму сфероидов Маклорена, то интерполяцией из
таблицы I (стр. 71) легко находим, что при е = 0,71 потенциальная и
кинетическая энергии массы тМ даются выражениями
V = - 0,9571G(mM)5/3p1/3,
Т = 0,0868G(mM)5/3p1/3
218
Глава X
в единицах, используемых в настоящем исследовании. Соответственно полная
энергия компонента тМ, удаленного от массы (1 - т)М на неограниченное
расстояние, равна -0,8703G(mAf)5/3p1/3, а энергетическое условие в этом
случае будет
-0,745 ^ -0,8703{ш5/3 + (1 - то)5/3},
ИЛИ
0,856 < т5/3 + (1 -ш)5/3.
Из него следует, что приблизительно то < 0,11, а предельное отношение
масс, следовательно, равно примерно 8:1.
Теперь вернёмся к вопросу о сохранении углового момента во время распада,
что также должно налагать ограничение на ш. Дело здесь осложняется тем,
что орбитальный угловой момент удаляющихся частей однозначно выражается
через трансверсальную компоненту относительной скорости данных масс, в то
время как критерий отрыва включает только полную относительную скорость,
а её направление не существенно. Если допустить, что поперечная
относительная скорость меньшей массы обладает достаточной энергией для
отделения, то легко показать, что параболический орбитальный угловой
момент частей тМ и (1 - т)М, которые, как предполагается, имеют здесь
сферическую форму, равен
1,12G1/2M5/V1/6to(1 - rrTf^m1/3 + (1 - ш)1/3.
Далее, угловой момент критического эллипсоида
0,31G1/2Af5/V1/6.
Предполагая теперь, как и при рассмотрении энергетического баланса,
2
что массы тМ и (1 - т)М в форме сфероидов Маклорена с шп =
= 0,142 находятся на очень большом расстоянии друг от друга, то из
таблицы I (стр. 71) легко находим в принятых единицах угловой момент
ДЛЯ тМ 0,18G1/2(mAf)5/3p-1/6
с точно таким же выражением для (1 - т)М. Соответственно, сохранение
углового момента требует
0,31 ^ 0,18т5/3 + 0,18(1 - то)5/3 + 1,12то(1 - m)\Jm1/3 + (1 - т)1/3,
ИЛИ _ ,0 _ /0 / ' ~
1,69 ^ т / + (1 - т) ' + 6,10т(1 - ш)уш1/3 + (1 - т)1/3,
Приложение к космогонии
219
а это, в свою очередь, требует, чтобы значение т как минимум было меньше
0,14, другими словами, отношение масс должно быть намного больше, чем
7:1.
Принимая во внимание элемент аппроксимации, неизбежно входящий в
вышеописанные вычисления, общее согласование между двумя пределами,
которые возникают отдельно из условий для энергии и углового момента,
явно указывает на то, что следствием неустойчивости должно быть отношение
масс как минимум 7:1 или 8:1 .
3. Двойные системы, двигающиеся по круговым орбитам
Справедливость (или отсутствие таковой) гипотезы деления при объяснении
образования двойных систем может быть установлена с учетом изучения
динамических свойств устойчивых двойных систем, откуда, как известно,
можно получить оценки для отношения масс, а также представление о
конечной картине распада.
Соответствующую динамическую задачу рассмотрел Дарвин, который показал,
что если две массы с одинаковой однородной плотностью двигаются по
круговым орбитам относительно друг друга так, что в целом их движение
является твердотельным вращением, то форма свободной поверхности
составляющих тел с достаточной точностью может быть принята
эллипсоидальной1. Если принять систему обозначений Дарвина и обозначить
массы через т и М, то Л = ^ будет
представлять отношение масс. Единицу длины можно выбрать такую, что
- 4 Л ПТ _ 4 1
m з^'ц-л' з7Г/0' 1 + Л'
так что полная составная масса той же плотности заполнит сферу с
единичным радиусом. Расстояние между центрами этих двух масс обозначим
через R, оси тела ш - через а, Ъ, с, а оси тела М - через А, В, С. Тогда
вычисления Дарвина показывают, что в устойчивом относительном равновесии
два эллипсоида ориентированы так, что их наибольшие оси с и С находятся
на линии, соединяющей центры масс, а оси средней длины 6 и В лежат в
плоскости орбитального движения. Оси а и А расположены параллельно оси
вращения системы.
1 Следует добавить также, что согласно теории фигур равновесия эллипсоиды
в задаче Дарвина должны быть конгруэнтными друг другу [3]. - Прим. ред.
