Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
неустойчивость относительно определённой гармоники третьего порядка.
Первые фигуры на этой ветви получаются деформацией, при которой
добавочная (точнее, возмущающая, Б. К.) волновая поверхность имеет в
экваториальной плоскости три возвышения и три впадины, но которая
исчезает в точках плоскости, определённой двумя короткими осями
эллипсоида. Амплитуда таких деформаций во всех случаях берётся бесконечно
малой. Таким методом Пуанкаре получил результирующую поверхность новой
фигуры и нашёл её похожей на грушу (рис. 16, стр. 176). Поэтому начальные
фигуры этого ряда известны как "грушевидные" или "грушеподобные"
("piriform"). С их открытием сразу возник вопрос: является ли грушевидный
ряд изначально устойчивым или нет. По сути своей это задача, над которой
работал Чебышев. По этой проблеме Пуанкаре, Дарвин, Ляпунов, Джинс - мы
называем только известных учёных - провели обширные исследования.
Некоторый вклад в неё внесли также Шварцшильд (Schwarschild), X. Ф.
Бейкер (Baker) и другие.
Если свойства жидкой массы определяются её однородностью, гравитацией и,
если необходимо, вязкостью, то общая задача нахождения возможных форм
равновесия и их устойчивости может быть сформулирована как чисто
теоретическая. Однако Пуанкаре был заинтересован в решении этой задачи
ещё и с точки зрения её космогонического применения. Дарвин же был
полностью поглощён космогонической идеей. Общая форма грушевидной фигуры
в предположении её устойчивости, без сомнения, наводит на мысль о том,
что эволюция жидкой массы вдоль последовательности должна сопровождаться
её вытягиванием и непрерывным "худением" едва заметной поначалу
перетяжки, что должно далее привести к делению этой массы на два
отдельных тела, совершающих круговое движение друг возле друга^4-1. Таким
образом, Дарвину показалось очевидным, что динамическая теория (если её
можно было бы построить в соответствии с данными идеями) могла бы стать
теоретическим обоснованием сценария, по которому вследствие такого
деления именно и произошли двойные системы во Вселенной. И действительно,
Дарвин в конце концов заявил, что он доказал изна-
18
Глава I
чальную устойчивость грушевидного ряда, и это послужило стимулом для
дальнейшего развития этой гипотезы.
В рассматриваемом случае, чтобы установить устойчивость грушевидных
фигур, достаточно доказать их вековую устойчивость. С другой стороны,
если ряд обладает вековой неустойчивостью, потребуется ещё дополнительное
исследование для выяснения того, каким путём система будет развиваться в
дальнейшем. Дарвин и подошел к этой задаче, имея целью разрешение вопроса
о вековой устойчивости груши. Ту же цель преследовал и Ляпунов,
увлеченный в своих многочисленных работах главным образом теоретической
стороной задачи; астрономические же приложения его интересовали меньше.
Впоследствии и Джинс также заинтересовался доказательством только вековой
устойчивости, убежденный, по-видимому, в том, что обыкновенная
устойчивость не разрешит эту проблему.
И действительно, докажи эти авторы, что грушевидная фигура обладает
вековой устойчивостью, их теоретические разработки представили бы полное
решение вышеупомянутой проблемы (хотя вопрос о том, насколько долго
грушевидный ряд сохранял бы устойчивость при возрастании углового
момента, как это требовалось для рядов Маклорена и Якоби, всё равно
остался бы открытым). Но в том то и дело, что Ляпунов, а позже и Джинс,
пришли в своих исследованиях к выводу, что эта фигура является вековым
образом неустойчивой. (Джинс отметил также, что при правильном подходе и
исправлении некоторых технических ошибок, первоначальное исследование
Дарвина также привело бы его к подобному же результату1.) Ляпунов
удовлетворился полученным результатом, Джинс же впоследствии решил дать
теоретическое обоснование возможным путям динамической эволюции звёзд;
при этом он учитывал, что реальные условия несколько отличаются от
принятых в задаче. Оказалось, однако, что требуемая для этого
прогнозирования информация автоматически ещё не вытекает из знания того,
что система обладает вековой неустойчивостью. Действительно, если
продолжение ряда Якоби останется обыкновенно устойчивым, что вполне
возможно, то при незначительном трении отклонение от критической фигуры
Якоби может и вовсе не наблюдаться. Например, лунная орбита, неустойчивая
в вековом отношении, в то же время
1Эта странная фраза выражает лишь то, что у Дарвина были ошибки, и что
Джинс эти ошибки нашёл. В первом, однако, не сомневался ещё и сам А. М.
Ляпунов! - Прим. ред.
Введение
19
обладает обыкновенной устойчивостью, потому её эволюция под воздействием
сил трения продвигается чрезвычайно медленно, и не будь трения, эволюции
не было бы вовсе.
Таким образом, для того, чтобы иметь полную информацию при рассмотрении
малых деформаций системы, необходимо определить, остаётся ли ряд Якоби
обыкновенно устойчивым вне критической фигуры. Условие динамической
