Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
давления
у, = ^-W + const Р at
и принимая во внимание условие постоянства на поверхности р, приравниваем
нулю коэффициенты при переменных функциях отсюда
получим
Вп = %9а2п д. i ^п' (И)
Отсюда для части смещения = s(tm) имеем
d2Sn , 2n{n-l)g ,
dt2 2п + 1 а"
0. (12)
Очевидно, что для смещений порядка п все 2гг. +1 независимых
поверхностных гармонических функций S(tm) являются нормальными координатами
системы. Подставляя в данное уравнение sn ос elrTnt, получим
2 2п(п-1)д 8 ^ п(п - 1)
2п + 1 а = зпСР~2п + Т' (13)
где G - гравитационная постоянная1.
1Получена известная формула Кельвина (1863) для квадратов частот малых
колебаний однородной сферы. - Прим. ред.
Сферическая форма
63
Согласно этой формуле, все частоты колебаний сферы вещественные, и
система поэтому остаётся обыкновенно устойчивой, что также следует из уже
установленной ранее вековой устойчивости. Заметим, что периоды колебаний
зависят только от плотности, а не от линейных размеров системы.
Кинетическую энергию Т движения на любой стадии можно вычислить по
формуле
где интеграл берётся по всей поверхности, а -ц- обозначает диффе-
ои
ренцирование по нормали. Поскольку величина Ф мала, эту формулу с
достаточной точностью можно записать в виде
Эти коэффициенты, как и следовало ожидать, являются положительными.
Уравнение для энергии движения есть Т+V = const. Но для исследования
вековой устойчивости требуется вычислить только V, поскольку Т
положительна по определению. Если V также является существенно
положительной, то ни одна из координат не может превысить того малого
значения, установленного энергией начального возмущения1.
1 Последняя фраза неточна: потенциальная энергия V, по определению,
величина существенно не положительная, а именно отрицательная. Суть же
дела в том, что при любом малом возмущении изображающая точка сферы
движется внутри соответствующего контура нулевой скорости (об этом см.
[4], стр. 136). - Прим.
//
S2nda.
(14)
Глава IV
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
Для того чтобы установить существование сфероидов Маклоре-на и
эллипсоидов Якоби как возможных форм равновесия, в первую очередь нам
потребуется выражение для гравитационного потенциала таких фигур во
внутренних точках. Рассмотрим эллипсоид, главные оси которого совпадают с
осями координат; его уравнение
х±_ , Г V _ ,
а2 Ъ2 с2 '
(1)
где предполагаем а ^ b 57 с. Хорошо известно, что гравитационный
потенциал однородной массы с поверхностью (1) во внутренних точках с
координатами (х, у, z) даётся квадратичным по этим координатам выражением
ОО
W = -irGpabc J
V
А Ъ2 + А с2
(2)
где Д2 = (а2 + А)(Ь2 + А)(с2 + А), р обозначает плотность, a G -
гравитационную постоянную. Его можно записать более кратко:
W = -irGp(ax2 + /Зу2 + 7г2 - 5),
(3)
где
а = abc
7 = abc
d\
(а2 + А)Д
d\
(с2 + А)Д
/3 = abc
dX
(b2 + А)Д '
5 = abc
(4)
Сфероидальные и эллипсоидальные формы 65
Потенциальная энергия всей массы, которую обозначим через V, задаётся с
помощью объёмного интеграла
V = -\J pWdr,
взятого по всему эллипсоиду (1). Для её нахождения требуется знать
моменты инерции однородного эллипсоида
J х2 dr = ^а2 • ^7га6с,
J у2 dr = ^b2 ¦ ^7га6с,
/z2 dr = \(? ¦ к ттаЪс.
5 3
Очевидно,
V = |тг2Ор2 Qаа2 + |/362 + |7с2 - й)
^тг2Ср2а2Ь2с2 j (
СЮ
2 , ъ2 , с2 Д dX
а2 + X Ъ2 + Х с2 + X /А о
2^ = Г -+ -Д- + -Д- ) d\,
Замечая, что
9 Д ~ \а2 + X ' Ь2 + Х ' с2 + X и следовательно,
а2 , Ъ2 , с2 =3_А(" 1-----h 1-----h 1-Л =3_2А^Д
а2 4- А Ъ2 + А с2 + A Va2 + A 62 + А с2 + А/
А с?А
находим
сю
4 2 = 15
СЮ
Gp2a2b2c2 J " idA} =
A=0
сю О
66 Глава IV
Т. к. ^ исчезает при А = ОиА = оо, то мы приходим к хорошо известному
выражению для потенциальной энергии эллипсоида
СЮ
V=-J^7T2Gp2a2b2c2 J (5)
о
Для сфероида а = Ъ и с2 = а2{ 1 - е2), так что вышеуказанный интеграл
можно выразить через элементарные функции1
V = -Щтг2Ср2(аЬс)5/3(1 - е2)1/6 (6)
Согласно методу расчёта, нуль потенциальной энергии соответствует
рассеиванию материи на бесконечность.
Для того чтобы выразить энергию в безразмерном виде, за единицу энергии
удобно принять величину
Кроме того, если единица длины выбрана так, что г = (а&с)1/3 = 1, то
формула (5) принимает вид
СЮ
3 f
V = -jQr / д- для эллипсоидов, (7)
о
а выражение (6) -
V = -1(1 - е2)1/6-^^-- дЛя сфероидов. (8)
1. Условие относительного равновесия конфигурации
Уравнения относительного гидростатического равновесия жидкой массы,
вращающейся с постоянной угловой скоростью и> вокруг Oz,
1Наличие дополнительного множителя (1 - е2)1/6 в этом выражении
объясняется тем, что масса (объём) сжатого сфероида сохраняется. - Прим.
ред.
Сфероидальные и эллипсоидальные формы
67
имеют вид
1др = Ш 2х
Рдх дх '
1 др _ dW , 2
Рду-^+шт (9)
1 dp dW
Р dz dz '
где р - давление, р - плотность (она одинакова во всех точках), a W{x, у,
z) - внутренний гравитационный потенциал массы. Эта система уравнений
имеет интеграл
jj = W + ^lo2(x2 + у2) + const, (10)
