Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 19

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 76 >> Следующая

? + (2iw + 2к)? + (п2 - w2)? = 0.
56
Глава II
Предполагая ? ос еЛ*, характеристическое уравнение приобретает вид
Относительно фиксированных осей в самой нижней точке сами координаты
являются вещественными и мнимыми частями выражения (х + iy)elut. Ясно,
что если из < п, т. е. если аиз2 < д, то оба вещественных
экспоненциальных члена обращаются в нуль, и, следовательно, нижнее
положение остаётся устойчивым, как уже было показано ранее. Но если uj >
п, т. е. аш2 > д, то первый экспоненциальный член постепенно возрастает,
так что расстояние от начала координат должно увеличиваться. Член с
возрастающей амплитудой соответствует колебанию с наибольшим периодом ^'
при движении, когда к = 0.
Амплитуда члена с периодом п^ш всегда затухает.
(III) Частица двигается по проволоке, имеющей форму кривой с асимптотой х
= а, и притягивается к оси z силой Хх3.
А2 + (2iuj + 2k)\ + (п2 - из2) = 0
или
(Л + кз)2 = -п2 - 2к\.
Следовательно, с точностью до первого порядка по к имеем
Поэтому
х + гу = е
~iuJt{Aeint-e ktyl пУ + ве~ш-е
Здесь
г т т г 1 2 г 1 \ 4 1 2 2
U = V - тг03 I = -jXx - -из X . 2 4 2
Положения равновесия задаются при
Значит, вещественное положение равновесия, отличное от х = 0, существует
только при из2 < Ха2.
Устойчивость
57
Для проверки устойчивости этого положения находим
Щ= ЗАх2-сЛ dx
Таким образом, если oj > 0, то положение неустойчиво при х = 0 и
устойчиво
при х = Отсюда, если ш медлен-
но возрастает, то существует линейный ряд конфигураций равновесия,
заканчивающийся в х = а, где oj2 = Аа2.
Что касается обыкновенной устойчивости, то легко видеть, что первое
положение при х = 0 является обык- Рис. 8
новенно неустойчивым, а второе - обыкновенно устойчивым, что и
следовало ожидать для системы с одной степенью свободы.
18. Основная предпосылка в прикладной математике
В заключении этой главы полезно было бы напомнить общее положение,
лежащее в основе почти всей прикладной математики. Это положение гласит,
что точное решение линеаризованных дифференциальных уравнений движения
эквивалентно в то же время приближению, полученному из решений точных
(нелинейных) уравнений, управляющих системой. Конечно, точного общего
математического определения этого положения не существует, но данная
процедура давно стала стандартной в прикладной математике. Действительно,
его внешняя привлекательность усиливается ещё и теми огромными
трудностями, с которыми неизбежно сталкиваются при использовании любого
другого метода решения. На справедливость данного утверждения a
posteriori указывает множество решенных таким способом задач. Тем не
менее, с точки зрения логики, это положение не имеет строго
математического обоснования1.
1С этой, весьма оптимистической, точкой зрения автора на универсальность
ме-тода линеаризованных уравнений согласиться, конечно, нельзя. Нередко
метод линеаризации нелинейных динамических систем приводит к
недопустимому огрублению исходной задачи. - Прим. ред.
Глава III Сферическая форма
Если гравитирующая масса жидкости с однородной плотностью не имеет
углового момента, интуитивно очевидно, что её форма равновесия должна
быть сферической1.
Для того, чтобы доказать, что сфера является возможной фигурой
равновесия, обозначим давление через р, плотность - через р, а
гравитационный потенциал в любой точке жидкости - через V. Условием для
гидростатического равновесия является
dp = pdV. (1)
Поскольку р постоянна, существует интеграл
р = pV + const. (2)
Для однородной2 сферы V является постоянной на всей поверхности, так что
условие р = 0 на поверхности будет выполняться при определённом значении
постоянной. Кроме того, если выполняется условие (2), то условие (1) тоже
должно выполняться во всех точках жидкости, а следовательно, сфера
является возможной формой равно-Рис- 9 весия.
Сфера, как доказал Лихтенштейн, - это единственная возможная форма для
невращающейся массы. С помощью несложных рассуждений он показал, что
невращающаяся фигура равновесия должна быть симметрична относительно
любой из плоскостей, проходящих через
1Для сферической формы требование однородной плотности является излиш-
ним. Достаточно, чтобы распределение плотности в конфигурации было
сферически симметричным. - Прим. ред.
2Правильнее, конечно, сказать "для равновесной" - Прим. ред.
Сферическая форма
59
центр масс. Суть доказательства заключается в следующем. Допустим, что
масса разбита на элементарные цилиндрические трубки с бесконечно малыми
поперечными сечениями, оси которых направлены по нормали к некоторой
плоскости, проходящей через центр масс О. Эту плоскость можно обозначить
через Оху, а направление - через Oz. Средние точки Pi, Р2, ... трубок
определяют конкретную поверхность. Если эта поверхность плоская, то
конфигурация должна быть симметрична относительно неё. Поэтому если
допустить, что поверхность плоской не является, то на ней должна быть
некая точка М, в которой значение z является максимальным. (Ход
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed