Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентны.
Что касается обыкновенной устойчивости, то поскольку в первом приближении
и; остаётся постоянной, в уравнениях движения, соответствующих (28),
можно пренебречь членами с 5ш. Таким образом, для малых колебаний
величину ш можно опять рассматривать как постоянную, и на основании этого
получить условия обыкновенной устойчивости.
16. Примеры устойчивости вращающихся систем
(I) Частица единичной массы двигается под действием центральной
притягивающей силы , где г - расстояние, а п является слегка меняющимся
параметром.
Устойчивость
53
Здесь V =--------------г и I = г2. Отсюда, если h обозначает орби-
(п - 1 )г" 1
тальный угловой момент, то устойчивость будет зависеть от функции
U = у + tfi =----------(?----1_
21 (п - i ~)гп 1 2 г2
Конфигурации относительного равновесия существуют при
dU _ h2 _ р
dr ~ rn r3 ~
Это даёт h2 = ^ , что представляет собой просто
условие для круго-
вой орбиты радиусом г.
Для проверки её вековой устойчивости имеем
d2U = ,3h2 = h2(0 ,
dr2 rn+1 "г Д r4 V0 'V-
Следовательно, такая орбита будет обладать вековой устойчивостью при п <
3.
В качестве интерпретации полученного решения можно вообразить себе
существование среды сопротивления1, вращающейся вокруг силового центра с
такой угловой скоростью, что частица будет обладать нулевой скоростью
относительно этой среды только тогда, когда движется по круговой орбите.
Если п < 3, то радиальная компонента движения частицы, находящейся на
орбите, слегка отличающейся от круговой, будет постепенно затухать.
Следовательно, система будет обладать вековой устойчивостью.
Легко видеть, что это есть условие и для обыкновенной устойчивости. Если
в уравнение радиального движения
г - гв2 = -
подставить г = а + ?, где а является радиусом невозмущённой орбиты, а ? -
малая величина, и исключить с помощью г2в = h + 5h угловую
1 Однако в сопротивляющейся среде угловой момент частицы будет неизбежно
уменьшаться. Поэтому данная здесь интерпретация с физической точки зрения
является неверной. - Прим. ред.
54
Глава II
скорость в, то получим1
у , (3h? _ Ип \ 6 = 5h SMa4 й3'
так что коэффициент при ? является положительным для гг < 3.
Необходимо отметить, что при 8h ^ 0 из-за присутствия в правой
части уравнения члена Щ радиальные колебания частицы происхо-
а
дят относительно слегка возмущённого значения г = а. Следовательно,
среднее движение по возмущённой траектории уже в первом порядке будет
отличаться от движения по исходной траектории. Таким образом, если
относить движение частицы2 к системе координат, вращающейся с исходной
угловой скоростью, то оно могло бы показаться неустойчивым, хотя
фактически это не есть истинная неустойчивость в смысле неограниченного
возрастания явной координаты.
(II) Частица единичной массы движется под действием силы тяжести по
внутренней поверхности сферической чаши радиусом а, которая вращается
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью и).
Если через в обозначить угол наклона между вертикалью и радиусом,
проведенным к частице, то
U = V-^lu2I = - да coed-]^uj2a2sm2 в.
Рис. 7 "
1огда равновесные положения задаются следующим образом:
(Щ- = да sin в - iо2a2 sin в cos в = 0. ив
Отсюда 0 = 0 или cos в = -следовательно, auJ1 > д.
асо
•^В правой части автор пропускает множитель 2h. - Прим. ред.
2 Здесь имеется в виду, хотя это и не оговаривается, уже нелинейная
эволюция орбиты частицы. - Прим. ред.
Устойчивость
55
Очевидно, случай в = 0 всегда является обыкновенно устойчивым, поскольку
вращение чаши, если пренебречь трением, никак на шарик
не повлияет. В положении же, которое задаётся при cos# = -части-
аш
ца движется как конический маятник, и для сохранения этого состояния
трение не требуется. Как хорошо известно, такое движение тоже обладает
обыкновенной устойчивостью.
Чтобы рассмотреть вековую устойчивость в этих случаях, мы имеем
= да cos в - w2a2 (cos2 в - sin2 #).
do
При в = 0 получаем Ugg = да - w2a2 > 0, следовательно, самое нижнее
положение шарика остаётся устойчивым, пока выполняется условие aw2 < д.
Но когда становится возможным верхнее расположение, шарик в нижнем
положении приобретает вековую неустойчивость. Поскольку при cos# = -у-
верно Ugg = w2a2 sin2 # > 0, то шарик в верх-аса
нем расположении всегда обладает вековой устойчивостью. При w2 = ^
осуществляется передача устойчивости к новому ряду конфигураций, и такая
система даёт пример случая (I) теории обмена устойчивости (стр. 24).
17. Начальное движение частицы вблизи низшего положения
Интересный пример для теории, изложенной на стр. 47-49, даёт случай
малого движения шарика в окрестности # = 0, когда положение обладает
вековой неустойчивостью.
Уравнения малого движения относительно горизонтальных декартовых осей От,
Оу, вращающихся вместе с чашей, имеют вид
х - 2wy - w2x = -2 кх - п2х, у + 2 wx - w2y = -2ку - п2у,
где к - малая положительная постоянная, представляющая трение, а п2 = у
Записав ^ = х + гу, эти уравнения можно скомпоновать следующим образом:
