Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Если ±iAi, ИХ2 - первоначальные корни, то можно предположить, что
измененные корни будут иметь следующий вид:
Pi±i(Ai+ri), Р2±*(А2+г2),
где р\1 Р21 г\, г2 должны быть малыми, т.к. они исчезают вместе с Дц Из
суммы четырёх корней можно сразу же получить следующее равенство:
2рг + 2р2 = - /ц - /22 < 0.
А из суммы величин, обратных корням, с точностью до малых величин первого
порядка следует, что
50
Глава II
т. к. &1 и &2 отрицательны. Отсюда р\ и р% имеют противоположные знаки.
Следовательно, если система получает возмущение, одно из колебаний
затухает, а остальные будут возрастать экспоненциально со скоростью,
зависящей от fij.
Если, скажем, исключить р\, то мы обнаружим, что
р2{\\-\l) > 0.
Отсюда если Ai < А2, то Р2 отрицательное, а р\ положительное. Таким
образом, колебание с наименьшей частотой (здесь Ai) и наибольшим из двух
первоначальных периодов возрастает (поскольку pi положительное) .
Колебания же с меньшим периодом затухают.
13. Устойчивость при постоянном угловом моменте
До сих пор мы рассматривали динамические системы, в которых ui оставалась
постоянной, а колебания происходили относительно вращающихся осей. Однако
если мы имеем свободно вращающуюся систему в относительном равновесии, у
которой ш для данного положения является постоянной, то очевидно, что при
небольшом смещении средняя скорость вращения будет уже несколько
отличаться от ui. Но и в системе координат, вращающейся с этой скоростью,
движение можно всё же выразить с помощью вещественных гармонических
членов. При данном положении, когда игнорируемая координата (например,
орбитальный угол) может возрастать сколько угодно, не производя никаких
изменений в общей траектории, любая явная координата может при возмущении
изменяться лишь слегка, чтобы система оставалась устойчивой.
Например, частица, описывающая круговую орбиту по закону обратных
квадратов, будет находится в относительном покое в определённой
вращающейся системе координат. Если она получит слабый толчок по
касательной, то изменится её полная энергия, а следовательно, и её
движение вокруг центра приложения силы. Поскольку в первоначальной
системе координат отклонение от положения равновесия будет постоянно
увеличиваться, то исследование характера V - зафиксирует неустойчивость
системы.
С другой стороны, условие
Устойчивость
51
где oj берётся за постоянную величину, является всегда достаточным, но не
необходимым условием устойчивости. В самом деле, если с помощью этой
функции выявляется устойчивость, то она заведомо реализуется, если же
выявляется неустойчивость, то последняя физически может и не
реализоваться, так что потребуется дальнейшее исследование. Более общий
критерий будет дан ниже.
14. Свободно вращающиеся системы
Введем систему декартовых координат Ох, Оу, Oz, вращающихся вокруг Oz с
угловой скоростью со, которая пока не зафиксирована и может изменяться.
Тогда, как мы видели,
Т = Тд + loHr + \и?1,
Н = Hr + col.
Если взять ось z в качестве оси постоянного углового момента, тогда Н
будет постоянной при всех колебаниях и движениях системы. Выберем W
такой, чтобы относительный угловой момент Hr был нулевым. Эта конкретная
ио не всегда будет постоянной во времени, причём она сводится к угловой
скорости твердого тела, если система находится в состоянии относительного
равновесия. Тогда имеем
Т = TR + \со21, (37)
Н = ш1, (38)
и исключение переменной си даёт
т = Тя+тГ (39)
Если V является потенциалом внешних сил, то для свободно вращающейся
системы уравнение энергии Т + V = const приобретает вид
Tr + V + = const, (40)
напоминающий уравнение (25) с тем лишь отличием, что постоянная Н
1 9
стоит на месте со, а вместо члена --^lo I стоит новый
В точности те же аргументы, как и для ранее изученных систем с постоянной
угловой скоростью вращения, теперь свидетельствуют
52
Глава II
о том, что системы с постоянным угловым моментом будут обладать ве-
гг2
ковой устойчивостью, если V + имеет абсолютный минимум. В противном
случае, система будет неустойчивой в вековом отношении и при этом может
обладать или не обладать устойчивостью обыкновенной.
На этот важный критерий впервые указал Шварцшильд (Schwarz-child) (7).
15. Случаи, в которых оба критерия эквивалентны
Легко показать, что если при небольших возмущениях равновесной системы
момент инерции I с точностью до малых первого порядка остаётся неизменным
(т. е. меняется только во втором порядке), то оба критерия являются
эквивалентными.
Поскольку Н - постоянная, мы имеем 5(loI) = 0, следовательно, вариация
^
тоже имеет второй порядок малости. Поэтому равенство S{V + ^)=5V-^5I =
5V-^5I
верно с точностью до величин второго порядка малости включительно. Отсюда
для анализа на устойчивость достаточно рассмотреть выражение SV - ^ш281,
т. е. получается тот же результат, как если бы мы использовали функцию V
- где и> - постоянная величина. Таким
образом, при данных обстоятельствах оба условия вековой устойчивости
