Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 16

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 76 >> Следующая

ношению к некоторым координатам), который удобно принять за нуль. Отсюда
можно представить, что если у возмущённой системы V - является
отрицательной величиной, то изначально будет
Тд + V - 2и>2^ = ~с'
где с - малая положительная постоянная. При последующем движении либо Тд,
либо V - ^ш21, либо обе эти величины будут отличаться от нуля,
следовательно, система будет развиваться в любом случае. Но
1Астрономия и Космогония (Astronomy and Cosmogony), стр. 199 (авт.).
2 Отрицательная переменная величина. - Прим. ред.
Устойчивость
47
при появлении движения наличие трения ведёт к уменьшению левой части
уравнения, и через небольшой интервал t мы получим
Tr + V - ^ш21 = -с - kt,
где к > 0. Таким образом, даже если Тд впоследствии станет равным нулю,
величина V - по-прежнему будет далека от равновесного
значения, следовательно, движение продолжится, а левая часть уравнения
будет продолжать уменьшаться. Поскольку Тд не может быть отрицательным,
то V - ^21 приобретает всё большие отрицательные значения, а система всё
более и более отклоняется от первоначальной конфигурации равновесия.
Важно отметить, что степень отклонения прямо пропорциональна величине
присутствующей силы трения и исчезает вместе с последней. Следовательно,
нельзя предполагать, что отклонение от равновесия должно происходить
быстрыми темпами; тем не менее, каким бы малым ни было трение, амплитуда
движения на больших промежутках времени должна неограниченно возрастать.
10. Природа обыкновенной неустойчивости
Обыкновенная неустойчивость означает, что выражения для первоначального
движения системы включают в себя экспоненциальные члены вида е±р*, где р
является вещественным и зависит только от геометрии системы. При этом
степень отклонения от положения равновесия быстро увеличивается, и это
будет продолжаться до тех пор, пока система при наличии трения не
достигнет новой конфигурации относительного равновесия. Уравнения малого
движения, указывающие на неустойчивость, могут дать информацию только о
первоначальной стадии такой динамической эволюции, но не смогут
определить новое состояние устойчивости, к которому система придёт в
конечном итоге.
11. Системы с двумя степенями свободы
Дальнейшее исследование, основанное на работе Лэмба (Lamb), показывает,
как описанная выше теория применяется для систем с двумя степенями
свободы. Мы доказываем, что система в отсутствии вековой устойчивости
может в то же время быть обыкновенно устойчивой.
48
Глава II
Если пренебречь трением и включить ш во все /3, а положительные величины
ai, а2 в координаты, то уравнения малого движения можно записать в виде
Д - /3<й + Wqi = О,
Д + А/1 + Д(/2 = 0.
Допуская, как прежде, qi = qwext, q2 = q2oext и исключая отношение qio :
q2o, находим
А4 + (Д+Д + /32)А2+ДД = 0. (34)
Два значения А2 будут вещественными, если
(Д +Ь2 + /З2)2 > 4ДД
ИЛИ
/32(/32 + 2bi + 262) + (Д - Д)2 > 0. (35)
Необходимо рассмотреть три случая:
(I) Д и Д положительные. Т. к. оба члена являются положительными при
любых значениях /3, условия (35) выполняются. Оба корня уравнения (34)
являются отрицательными, поскольку
\\Х2 = ДД > 0,
А2 + А2 = -(61 + 62 + /З2) < 0.
Система будет динамически устойчива при любом /3.
(II) Д и Д имеют противоположные знаки. В данном случае первое
неравенство из (35) заведомо выполняется. Но корни уравнения (34) должны
иметь противоположные знаки, т. к. произведение А2А| теперь отрицательно.
Положительный корень приводит к членам вида e±pt, следовательно, система
обладает обыкновенной неустойчивостью.
(III) Д и Д отрицательные. В этом случае неравенства (35) будут
выполняться, если /З2 является достаточно большим. Если предположить, что
2Д + 2Д + /З2 > 0, то
А2А2 >0 и А2 + Ад < 0.
Следовательно, оба корня являются отрицательными и система обладает
обыкновенной устойчивостью. Однако теперь модифицированная функция
потенциальной энергии имеет максимум.
Устойчивость
49
Эти результаты соответствуют предыдущему исследованию, а последний случай
демонстрирует возможность существования обыкновенной устойчивости в
системе с вековой неустойчивостью.
12. Действие трения
Рассмотрим, как будет меняться движение в случае (III), если силы трения
пропорциональны существующим скоростям. Мы увидим, что в определённом
смысле система тогда будет неустойчивой.
Уравнение движения можно записать так:
<?i + Mi + fnQi + (/12 - /М2 = о,
42 + М2 + (/12 + /Ml + /22^2 = о,
гДе /ш /i2i /22 - малые величины, представляющие собой коэффициенты так
называемой "диссипативной функции" ^(/11/1 + 2/124142 +
+ /22<?1)- Эта функция всегда положительна, поэтому работа всегда
совершается против движения системы, снижая её энергию. Соответственно /ц
> 0, /22 > 0 и /ц/22 > /12- Уравнение для Л становится следующим:
А4 + (/и + /22М + (Ф + &2 + /З2 + /11/22 - /ю)^2+ j-gg-, + (/ll&2 +
/22&l)A + 6162 = 0.
Оно отличается от уравнения (34) наличием различных членов с
коэффициентами диссипативной функции.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed