Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
коэффициента, уст,ойч,ивост,и, т,о одновременно она, должна становиться и
обыкновенно неустойчивой.
Проведенное рассмотрение ещё не доказывает, что система может быть
обыкновенно устойчивой, когда V - является максимумом
по отношению к некоторым координатам, а лишь то, что если число
отрицательных коэффициентов устойчивости чётно, это не нарушает
обыкновенной устойчивости. Для подтверждения же (первого, Б. К.)
результата корни (31) необходимо исследовать более подробно и, кроме
того, требуется информация о значении величин (Зц и ui. Но для нашей цели
нет необходимости рассматривать этот вопрос во всей его общности; вместо
этого ниже мы покажем, что в случае с двумя степенями свободы система
может быть обыкновенно устойчивой, когда V - является максимумом.
7. Системы с бесконечным числом степеней свободы
Настоящее исследование касается систем с конечным числом степеней
свободы, в то время как у жидкости число степеней свободы бесконечно. Тем
не менее, как показал Гильберт (Hilbert), эта теория может быть
распространена и на бесконечные системы, а присутствие мнимых или
комплексных решений, когда в координатах появляются члены вида e±pt,
можно, как и в случае ограниченных систем, рассматривать как признак
неустойчивости. Дело в том, что в общем случае, когда уравнение для А
хотя и имеет бесконечное число корней и только в специальных случаях
может быть представлено в алгебраической форме, всё же в интересующей нас
задаче уравнение периода, если его подходящим образом преобразовать,
распадается на бесконечное число уравнений, каждое из которых имеет
алгебраический вид.
Устойчивость
45
Тем не менее, необходимо помнить, что полученные выше результаты, такие,
например, как число коэффициентов устойчивости, которые меняют знак,
нельзя переносить без изменений на бесконечные системы. Во избежание
возможных ошибок, возникающих в таких случаях, разумнее всего будет
исследовать каждую задачу отдельно, а не делать выводы из результатов,
полученных только для конечных систем.
8. Условие потери и возникновения обыкновенной устойчивости
Предположим, существует такая конфигурация вращающейся системы, которая
обладает вековой, а следовательно, и обыкновенной устойчивостью.
Посмотрим, что будет происходить с этой системой по мере её развития
вдоль линейного ряда. В общем случае все корни - Af, -Л|, ..., -уравнения
(31) будут разными, поэтому если расположить эти корни в порядке
возрастания их значений, т. е. Af < А| < ... < Л^, то первым корнем,
который может изменить знак, будет -Af. Но это равносильно тому, что
меняет знак и произведение &i&2 • • • Ьп. Следовательно, обыкновенная
устойчивость теряется, если один из коэффициентов (или нечётное
количество коэффициентов) меняет знак, тогда как при одновременной смене
знака у чётного количества коэффициентов устойчивости она сохраняется.
При потере обыкновенной устойчивости вековая устойчивость не сохраняется,
но она может присутствовать до момента потери обыкновенной устойчивости.
Как правило, так и происходит, т.к. в общем случае только один
коэффициент устойчивости меняет знак. Следовательно, соотношение между
вековой и обыкновенной устойчивостью можно описать следующими четырьмя
правилами:
(I) Если конфигурация равновесия обладает вековой устойчивостью, то она
обладает и обыкновенной устойчивостью.
(II) Если конфигурация вековым образом неустойчива, то она может быть
обыкновенно устойчива или обыкновенно неустойчива.
(III) Если конфигурация обыкновенно устойчива, то она может обладать
вековой устойчивостью или неустойчивостью.
(IV) Если конфигурация обыкновенно неустойчива, то она обязательно
обладает вековой неустойчивостью.
Конечно, эти положения связаны между собой. Например, (IV) вытекает из
(I).
46
Глава II
Имеет смысл подробно рассмотреть связи между двумя видами устойчивости,
т. к. именно в этом вопросе прежние исследователи допускали серьезные
ошибки. Например, Джинс пишет1:
"Далее мы видим, что по мере того, как постепенно изменяются физические
свойства системы, вековая неустойчивость всегда наступает раньше
обыкновенной. Таким образом, для задач космогонии интерес представляет
только вековая устойчивость. Система никогда не достигает конфигурации, в
которой проявляется обыкновенная устойчивость, т. к. вековая
неустойчивость должна всегда появляться раньше."
Настоящее исследование делает очевидным ошибочность такого утверждения.
Дальнейшие исследования Джинса опирались на заблуждения, подобные данному
(см. комментарий*44) в конце книги).
9. Природа вековой неустойчивости
Рассмотрим, как будет развиваться при вековой неустойчивости
конфигурация, устойчивая обыкновенным образом. При полном отсутствии
трения и слабом возмущении она будет просто колебаться около положения
равновесия. Но если трение присутствует, то, опираясь на уравнение (24),
имеем
4~{Тц + V - ) = - ve величина2.
at 2
При равновесии Тд = 0, а V - является максимумом (по от-
