Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
устойчивой. Такие системы иногда называют "вполне устойчивыми".
Различие между двумя видами устойчивости станет более ясной при
последующем исследовании неустойчивых систем, где оно играет важную роль.
5. Обыкновенная устойчивость вращающихся систем: малые движения
Рассмотрим далее уравнения малого движения вращающейся системы в
окрестности конфигурации равновесия. Используя квадратичные формы (26)
для Тд и V - ^оо21 при малых значениях щ, уравнения движения (21)
приобретают следующий вид:
' a\qi + b\qi + u(/3i2(/2 + /Фз^з + • • •) = F\,
0.262 + &2<Z2 + bj((32iqi + /Згз^з + ¦ • ¦) = F2,
< (28)
" OnQn Т bnqn У oj(f3n\q\ Т [3n2q2 Т • • •) Fn.
При W = 0 эти уравнения сводятся к обычной форме в главных или нормальных
координатах. Следовательно, при свободных колебаниях, когда Т) = О,1
движение по любой из координат не зависит от остальных. Но для
вращающихся систем это условие не выполняется, даже если Тд и V - -^oj2I
приведены к суммам только квадратичных членов, поскольку если любая
координата, скажем щ, изменяется, то наличие гироскопических членов
вносит соответствующие изменения во все остальные координаты.
JB оригинале опечатка: стояло F\ = 0. - Прим. ред.
42
Глава II
Исследование свободных колебаний (малых движений) можно провести обычным
способом. Положим i7) = 0 и допустим, что решения уравнений (28) имеют
вид
Qi = qtoe (г = 1,2,...,
(29)
где qio являются малыми постоянными, которые следует определить, а
показатель степени одинаков для всех координат. Это и будет решением при
условии, что оно удовлетворяет следующей системе линейных уравнений:
(сдА2 + b±)qio + wA/3i2(/20 + шА/Зщдзо + ... - О,
^А/Згк/ю + (сдА2 + 62)920 + uXfozqza
u\f3niqio + ¦ • ¦ + (я"А2 + bn)qn о - 0.
0,
(30)
Данное условие согласованности линейных относительно що однородных
уравнений даёт характеристическое уравнение для возможных значений А
сдА2 + b\ c<j/3i2 A uif3\ 3А
02/З21А сдА2 + 62 <здД2з А
иДззА uifi^X азА2 + 63 ...
0.
(31)
Характер малого движения механической системы зависит от корней данного
уравнения. Если А является одним из корней и в общем случае кратные корни
отсутствуют, то п уравнений (30) совместимы, так что любые п - 1 из них
можно решить и получить отношения постоянных qio : 920 : • • • : qnо- По
крайней мере одна из постоянных должна остаться произвольной, а остальные
можно будет выразить как кратные ей, разные для разных значений А. Полное
решение уравнений (28), где Fi = 0, задаётся тогда с помощью линейной
суперпозиции полученных таким образом 2п решений уравнения (31).
6. Устойчивость
Если не все корни А чисто мнимые, то при малом смещении общего вида будут
появляться члены, возрастающие экспоненциально со
Устойчивость
43
временем. Чтобы это продемонстрировать, заметим сначала, что в
действительности (31) есть уравнение по Л2. Поскольку /3^ = -/Зд, а -Л
заменено на Л, строки и столбцы меняются местами. В отсутствии ш остаются
только члены на главной диагонали, и корни уравнения приобретают простой
вид
\ 2 Фг /о
~ оц' а2' ап '
так что для устойчивости потребовалось бы, чтобы b\, 62j ¦ ¦ ¦, Ьп были
положительными. Но в действительности характеристическое уравнение не
обладает такими простыми корнями, и в общем случае Л2 не являются уже
чисто вещественными, а имеют вид
Л2 = 7 ± i5 (г = \J - 1),
что даёт
Л = ±(р ± iq).
Тогда координаты будут зависеть от времени следующим образом:
Aept cos(qt + а) + Be~pt cos(qt + /3),
и, в отличии от случая с ш = 0, общее колебание будет выражаться
совокупностью таких же членов. Если р ф 0, то одна из амплитуд - Aept или
Be~pt - будет неограниченно возрастать: движение уже не будет малым и
система становится динамически (обыкновенным образом) неустойчивой.
Для обыкновенной устойчивости системы необходимо, чтобы
характеристическое уравнение (31) имело вещественные отрицательные корни
Л2.
Сформулированное в таком виде, это условие эквивалентно условию
устойчивости для невращающихся систем из (32). Но здесь необходимо
отметить: для вращающихся систем уже не требуется, чтобы все коэффициенты
устойчивости b\, ¦ ¦ ¦, Ьп были положительными. Ес-
ли -А2, - Л2, ..., -Л2 являются (по предположению) вещественными и
отрицательными, то учитывая член высшего порядка и постоянный член в
уравнении (31), получаем
&1&2 • ¦ • bn - aia.2 ¦ ¦ ¦ ап ¦ А2А2 ... А2.
(33)
44
Глава II
Поскольку все сц, а^, ¦ ¦ ¦, ап по определению положительны, то знак
произведения ..., (а для устойчивости требуется именно поло-
жительный знак) будет совпадать со знаком произведения bib^, • ¦ •, Ъп.
Поэтому обыкновенная устойчивость может сохраняться даже тогда, когда
некоторые bi отрицательны, но при этом количество отрицательных
коэффициентов устойчивости должно быть чётным. Таким образом, для систем
с конечным числом степеней свободы мы получаем следующий важный
результат:
Если система с конечным числом степеней свободы приобретает вековую
неустойчивость в результате смены, знака у одного {или нечёт.ного ч,исла)
