Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
1 Правую часть формулы (18) корректнее записать с введением скобок \2Y,m^
X' У\]чз- ~ Прим. ред.
L т &\Qj 1 Qi) ^
38
Глава II
центробежными силами. Учёт этих сил имеет особую важность: будучи
достаточно эффективными, они могут в определённых случаях привести
систему в состояние устойчивости (что объясняется ниже), в то время как
(без этих сил, Б. К.) энергетический критерий указывал бы на её
неустойчивость1.
Члены Fi, которые были добавлены в уравнение (21), представляют любые
внешние силы. Впоследствии мы будем подразумевать под ними, как правило,
силы трения.
2. Условия относительного равновесия
Если конфигурация находится в равновесии относительно равномерно
вращающейся системы координат, то Тц = 0 и все скорости Qi = 0. Таким
образом, при отсутствии внешних сил уравнения просты:
^-(у-\^1)=0 (* = 1,2,..., гг). (22)
Следовательно, единственное отличие в уравнениях равновесия по сравнению
с невращающимися стационарными системами является присутствие члена -
2Cj2^' Добавленного к потенциальной энергии. Другими словами, чтобы найти
положение равновесия, мы просто используем V - 2 7 вместо V. Эту
функцию мы можем назвать полным
механическим потенциалом2.
3. Условия устойчивости
Если умножить все члены уравнения (21) на щ и просуммировать их по г,
получим
1(ж)" - --&{У- (23)
1 Дело в том, что гироскопические силы (силы Кориолиса, например)
перпендикулярны направлению перемещения системы и не дают поэтому вклада
в энергию. - Прим. ред.
2Функцию V - правильнее было бы назвать эффективной потенциальной
энергией системы. - Прим. ред.
Устойчивость
39
Поскольку flij = -f3ji, члены, пропорциональные си, взаимно уничтожаются.
Далее, т.к. Тц является квадратичной формой щ, то согласно теореме Эйлера
об однородных функциях,
9Т дТц .
2 ±R =
dqi
и дифференцирование по времени даёт
ДГц _ дТц " d_f дТц\ .
dt dqi 1 dt\ dqi )^г'
Прямое дифференцирование Тц даёт
dTu dTu .. | дТц . dt dqt dqi
откуда
dTn _ d (дТц \ _ dTR
dt dt V dqi ) 1 dqi *'
так что уравнение (23) приобретает следующий вид:
|(ГК + Г-1Л)=".. (24)
Если кроме пары, сохраняющей постоянное вращение (которая, конечно, не
входит в члены Д), других внешних сил нет, то данное уравнение обладает
интегралом
Тц + V - = const. (25)
4. Вековая устойчивость
Мы уже убедились в том, что для равновесия V - долж-
на быть стационарной, и это значение всегда можно принять за нуль. Далее,
если конфигурация такова, что V - ^со21 имеет абсолютный минимум, то
система обладает вековой устойчивостью.
Рассмотрим теперь возмущённое движение в окрестности равновесного
положения, для чего выберем координаты (это всегда возможно) так, чтобы
они оставались малыми и стремились к нулю в состоянии
40
Глава II
равновесия. Эти координаты можно преобразовать таким образом, что
всегда можно сделать посредством вещественного линейного невырожденного
преобразования, поскольку величина Тд является положительно определённой.
В новых координатах ^
Если система получит небольшое смещение, интеграл (25) принимает вид
где с является малой положительной постоянной. Поскольку Тд не может
стать отрицательной, следовательно, значение каждой координаты никогда не
сможет превысить определённой величины. Например, щ не
отсутствии трения система должна колебаться близ окрестности положения
равновесия, причем все амплитуды различных членов, описывающих колебания,
являются малыми. Следовательно, система будет устойчивой в том смысле, в
котором это определение используется для статических систем. Такие
(вращающиеся) системы называются обыкновенно устойчивыми.
Если ввести трение, пропорциональное относительным скоростям, что вполне
допустимо для естественных (natural) систем, такие колебания исчезнут.
Это происходит потому, что силы трения, являясь внешними силами,
действуют таким образом, что все члены Fiqi, F2Q2, • • • j Fnqn
становятся отрицательными (поскольку трение всегда приводит к уменьшению
кинетической энергии). Тогда уравнение (24) означает, что
должна постоянно уменьшаться до тех пор, пока какая-нибудь из ско-
и Тд, и V - станут суммами только квадратичных членов.
Это
где ai > 0 всегда,
где bi > 0 в данном случае.
(26)
(27)
сможет превысить и даже достичь значения
Таким образом, при
4~(Тц + V - \со21) = отрицательная величина. at 2
Отсюда каким бы слабым ни было трение, величина Тд + V - ^^21
ростей отлична от нуля. Таким образом, и Тд, и V - ^21 должны
Устойчивость
41
стать равными нулю, что означает стремление к нулю всех координат и
возвращение системы к положению равновесия. Обращения в нуль одной только
Тд для этого ещё недостаточно, т. к. пока V - ^о>21 не обратится в нуль,
система не может постоянно находится в положении равновесия и скорости не
будут равными нулю. Такую систему, у которой все коэффициенты
устойчивости являются положительными, принято называть устойчивой вековым
образом. Отсюда видно, что конфигурация равновесия вращающейся системы,
обладая вековой устойчивостью, обязательно является и обыкновенно
