Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 12

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 76 >> Следующая

высшей точки. При любом дальнейшем увеличении а система перестанет быть
статической и линейный ряд обрывается1.
Устойчивость вращающихся систем
Что касается вращающихся систем, то нас интересуют прежде всего
конфигурации относительного равновесия, где вся система устойчиво
вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, как если
бы она являлась твердым телом. В таком состоянии относительное движение
частей отсутствует, так что диссипации энергии нет, и система находится в
стационарном состоянии. Если по какой-либо причине относительные движения
возникают, то единая угловая скорость системы в общем случае отсутствует,
хотя направление вектора углового момента может задать фиксированное2
направление из центра масс. В таком случае можно взять систему
прямоугольных вращающихся осей с началом в этой точке, причем третья ось
будет неподвижна, а оставшиеся две будут вращаться вокруг неё. Тогда
положения частиц можно относить к данной вращающейся системе координат.
Допустим, что оси Ох, Оу, Oz составляют прямоугольную систему координат,
причем оси Ох и Оу вращаются вокруг неподвижной оси Oz
dr г
с угловой скоростью со = --, которая не обязательно остается постоян-
dt
ной. Если частица массы то имеет координаты (х, у, г) во вращающейся
системе координат, то её пространственная скорость в каждый момент
времени будет равна (х - соу, у + сох, г). Следовательно, кинетическая
энергия системы таких частиц даётся выражением
т = \ то{(± - wy)2 + (у + сох)2 + г2} =
= \ m(V + у2 + ^2)+ш Yl т(ху ~ут(х2 + у2)-
Момент вращения относительно оси z в выбранной системе координат
1По смыслу этот пример относится к случаю IV. - Прим. ред.
2Фиксированное в пространстве. - Прим. ред.
Устойчивость
35
равен
Н = т{(у + сох)х - (х - toy)y} = т(ху - ух) + со т(х2 + у2).
Введём обозначения
Tr = \ т+у2 + ?2)'
Hr = ^~2т{ху-ху),
I = 5>(*2 + У2),
где Тя - кинетическая энергия, a Hr - угловой момент относительно
вращающейся системы координат. В свою очередь I является моментом инерции
системы вокруг оси z и не зависит от системы координат, в которой
измеряются прямоугольные координаты х, у. Выражая Т и Н через данные
величины, мы имеем
Далее допустим, что систему можно описать с помощью п +1 координат,
состоящих из п обобщённых координат qi, которые фиксируют конфигурацию во
вращающейся системе отсчёта, и азимутальной ко-
в случае с реальными системами, что внутренние силы являются производными
от потенциальной функции V и что единственной внешней силой является пара
G вокруг оси г, то уравнения движения Лагранжа для данной системы будут
иметь вид
Т = Tr + luHr+±lu2I, Н = Hr + сЛ,
(12)
(13)
а исключив отсюда Hr, получаем
T=Tr + luH- \lo2I.
(14)
ординаты 'ф, которая встречается только в виде ф. Если допустить, как
(г = 1, 2, ..., гг)
(15)
И
(16)
36
Глава II
что выражает равенство скорости изменения углового момента вокруг Oz и
действующей внешней пары.
Для свободно вращающейся системы G равно нулю, а Н будет постоянной. С
другой стороны, если эту систему можно описать с помощью п обобщённых
координат относительно осей, которые равномерно вращаются с постоянной
угловой скоростью со, время не входит явно в описание, и внешняя пара
должна даваться уравнением (16). Нам необходимо рассмотреть следующие два
случая. В первом случае мы возьмём со = const, во втором - Н = const и
далее покажем, при каких обстоятельствах оба случая можно считать
эквивалентными.
1. Системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью
Для преобразования уравнений Лагранжа (15) мы полагаем, как обычно, все
qi и щ независимыми друг от друга. Имеем:
¦ _ дх_ ¦ дх_ _ дх_ дх _ d дх
dqi г' dqt % % dtdq{
Тогда
'У^т[х
ду
dqi
так что
и
Отсюда
Устойчивость 37
. д(х, у)
(суммирование происходит также по j) . Множители - --------------- -
гео-
d{qj, 4i)
метрические величины, связанные с системой, и их можно считать известными
для выбранных обобщённых координат. Обозначим их через /3ij, так что
имеем
= а")
771 J
Очевидно, (Зц = 0 для каждого значения г, причём суммирование здесь
отсутствует.
Подставляя значение Т из уравнения (12) в левую часть уравнения (15),
имеем
dHR \ 1 о 97 _ dV
- Си - ------
sL (дТ*\ _ дТя д. А. (_ dHR } dt V дсц J dqi I dt V dqi J dqi J
2 dqi dqi (20) (г = 1, 2, ..., n).
Слагаемое в левой части, умноженное на со, уже вычислено. Выразив его
через /Зр/, получим уравнение
К(c) +^Ш1+^гЬ + ... + Рпгйп) =
Чг Чг (21)
= -й{?-^2Г)+{К}-
Это и есть уравнения движения системы относительно равномерно вращающихся
осей. От обычных уравнений, относящихся к неускоренным осям, они
отличаются двумя признаками. Во-первых, наличием члена - который
добавляется к потенциальной энергии. Соответ-
ствующие ему силы иногда называют обыкновенными центробежными силами. Во-
вторых, присутствием членов, содержащих компоненты скорости ujpijqi,
умноженных на угловую скорость вращения со. Обычно их называют
гироскопическими членами, но иногда и составными
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed