Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
приобретение устойчивости. Если система описывается частью устойчивого
линейного ряда, она должна терять устойчивость для конфигураций при его
продолжении. Если ответвлённый ряд проходит через точку, для которой А =
0, то он будет устойчивым, когда изображающая кривая направлена вверх,
так что при увеличении параметра /г на ней становятся возможными новые
равновесные конфигурации. Если же кривая направлена вниз, то новые
конфигурации неустойчивы и поэтому не реализуются.
А теперь приведём несколько простых примеров статических систем,
иллюстрирующих вышеописанную теорию.
Примеры устойчивости равновесия статических систем
I. Тяжелый однородный стержень АВ массой М и длиной 2а поддерживается
двумя равными пересекающимися нитями ВС, AD длиной 2Ъ. Нити закреплены в
точках С и D, которые расположены на одном уровне на расстоянии 2а, так
что система вынуждена двигаться в вертикальной плоскости через CD.
Рис. 4
Если обозначить наклон стержня к горизонтали через 26, то, приняв во
внимание высоту средней точки стержня АВ ниже уровня CD, получим
U = " Yr = - cos вл/b2 - a2 cos2 6,
2 Mg
где g - ускорение силы тяжести. Следовательно, положения равновесия
задаются следующим образом:
djj sin в(Ъ2 - 2a2 cos2 9)
d6 sjb'2 - a2 cos2 в
О,
32
Глава II
т. е. sin0 = 0 или cos2 в = -^-т. Соответствующими решениями являют-
2 о
ся 9 = 0 или в = ± cos-1 (.
\aV2'
Первое решение описывает горизонтальное положение стержня, которое всегда
представляет возможную конфигурацию равновесия. Второе, при вещественном
угле, даёт два симметричных положения с наклоном стержня к горизонтали.
Для проверки устойчивости этих различных положений имеем
?¦ и cos0(b2 - 2а2 cos2 в) a2 sin2 0cos0(2>b2 - 2а2 cos2 в) d92 (b2 -
a2 cos2#)1/2 (b2 - a2 cos2 в)3/2
т? an tt (b2~ 2"2)
Вели 0 = U, to Uee = -и, следовательно, положение является л/b2 - a2
устойчивым при b > а\/2 и неустойчивым при b < a\J2. Таким образом, во
втором из этих случаев наклонные положения появляются только
при неустойчивом горизонтальном положении. Если cos2 в = нахо-
2 о
дим
Uee = 4а (1---------= 4a sin2 в.
V 2а2/
Поскольку это выражение положительное, то такие наклонные положения,
когда они возникают, являются всегда устойчивыми.
Отсюда, если представить, что система начинает развиваться с малого
отношения т1 при постепенном его возрастании, то последова-о
тельность равновесных конфигураций описывается случаем 1 данной выше
теории. Горизонтальное положение стержня представляет собой единственно
возможную устойчивую форму равновесия до тех пор, пока а\/2 не станет
больше Ь, когда теряется его устойчивость, но появляются два
дополнительных устойчивых положения равновесия.
II. Шарик массой т скользит по гладкой вертикальной проволоке в форме
окружности радиусом а и соединен со второй частицей массой М при помощи
нерастяжимой нити, которая проходит, через гладкую чеку в наивысшей точке
окружности. Сама масса М висит в свободном состоянии.
Обозначив через в угол между двумя частями нити, как показано на рисунке,
находим
U = щ- = М cos в - т cos2 в.
2 да
Устойчивость
33
Поэтому для положений равновесия
= - М sin в + 2то sin # cos # = О,
du
откуда 0 = 0 или в = ±cos-1 -Ж^, так что вещественный угол существует
только при М 2то. Чтобы рассмотреть устойчивость, мы имеем
= -Мcos# + 2m(2 cos2 в - 1).
d0
Если в = 0, то Uee = -М + 2то и оно положительно
при М < 2т. Если cos# = --, то
ZiTYl Z1TI
Ж_ тп /7лл = М lZH_ Рис. 5
отрицательное при М < 2т.
Следовательно, если взять отношение Ц- в качестве параметра, постепенно
возрастающего от нулевого значения, то изначально существуют три
возможных положения равновесия: одно устойчивое с углом # = 0 и два
симметрично расположенных относительно вертикали
hi
неустойчивых положений. Для - > 2 возможно только первое из этих
положений, и оно является неустойчивым. Таким образом, рассматриваемая
система классифицируется случаем (II) данной теории.
III. Тяжелый шарик под действием силы тяжести скользит по гладкой
проволоке в форме конического сечения с большой горизонтальной и малой
вертикальной осями.
Возьмем в качестве параметра эксцентриситет е кривой и предположим, что
фокальный
параметр фиксирован. Тогда при е < 1 положения равновесия находятся на
концах малой оси. Нижнее положение является устойчивым, верхнее -
неустойчивым. При е > 1 кривая становится гиперболой, и положений
равновесия не существует. Это пример случая (III).
IV. Под действием силы тяжести тяжелая частица скользит в вертикальной
плоскости по гладкой проволоке в форме окружно-
s-1 -) Рис. 6
сти. С помощью упругой нити частица соединена с точкой окружности А. Эта
точка находится на угловом расстоянии а от высшей точки окружности.
34
Глава II
Предположим, что первоначально а равно нулю, а нить достаточно короткая
для того, чтобы частица касалась круга. Тогда, если а постепенно
увеличивается, но частица остаётся на круге, для каждого значения а будет
только одно возможное положение равновесия, которое в пределе достигнет
