Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
значении параметра д, так что для неё ^ = 0. Рассмотрим значения
%
потенциальной энергии V{q%, д) для смежной конфигурации, заданной
условием (щ + Sqi, д + 5 ц). С точностью до членов второго порядка по
малым величинам Sqi, 5 ц имеем следующее уравнение:
dVr.. , 1 d2V х,,2 , d2V д/i
v=v^^+\?kt
5qr Sqs + 4^5n+±^5n2
2 дц2
дц dq,
¦5qr 5 ц, (7)
где суммирование производится по повторяющимся индексам.
Для постоянного значения 5ц величины Sqi можно рассматривать в качестве
координат системы, а условия (щ + <$<д, ц + 5ц), представляющие новую
конфигурацию равновесия, эквивалентны п уравнениям
дУ
d(5ql)
= 0
(г = 1, 2, , п).
Вводя обозначения Vrs вместо
д2У
dqr dq.
, а Уг" вместо
d2v
( V11Sq1 + V126q2
Д a Sqv
dqr дц
VliiSfl = 0,
получим:
I V2iSqi + V22Sq2 + ... + V2nSqn + У2^5ц - 0,
(8)
VniSqi + Vn2Sq2
VnnSqn У Уп^5Ц - 0.
Их решение можно записать с помощью определителей следующим образом:
= (9)
где
Sqi Sq2
Уи V13 ... Ущ Vlfi Vn V13 Vlfl
г"2 Vm
А = Уп Уп Vl2 Vln Д22 V2n
Ущ Уп 2 Vnn
Устойчивость
29
Эти уравнения для данного приращения Sp определяют требуемый шаг Sqi (в
пространстве п + 1 измерений) от исходной конфигурации равновесия щ к
новой конфигурации. Конечно, при
А = 0 (10)
такой переход осуществить невозможно, причём последнее уравнение является
аналитическим условием существования или точки бифуркации, или той точки,
где ряд обрывается при возрастающем значении ц.
Вернёмся к рис. 2. Нетрудно заметить, что в случае (I), когда исходная
конфигурация находится непосредственно под точкой С, для малого
приращения Sp существуют три возможных смежных конфигурации равновесия ,
т. е. для данной системы определитель А в точке С должен быть равен нулю.
В противном случае, очевидно, обязательно существует единственная смежная
конфигурация. Аналогично, в случае (II) определитель А должен также
исчезать в точке С. В случаях (III) и (IV) линейные ряды являются такими,
что приращение дц само обращается в нуль при условии, что конфигурация
остаётся на данной последовательности. Следовательно, в этих случаях
определитель А также равен нулю в точке С.
Используемый выше порядок приближения не позволяет выяснить следующую
стадию (развития системы, Б. К.). Это может быть сделано только в более
высоком порядке, когда уравнения (8) не будут линейными и их решение даст
уже не один набор значений для величин Sqi. Такие решения будут
вещественными в случаях (I) (для положительных 5р) и (II) (для
отрицательных Sp); для случаев (III) и (IV) решения будут мнимыми, т. е.
вообще не будут описывать переход к реально существующей смежной
конфигурации (6).
7. Устойчивость
Рассмотрим, как влияет обращение в нуль определителя А на устойчивость
исходного ряда конфигураций при ^ щ.
В данном случае параметр /г должен оставаться постоянным, чтобы вариация
потенциальной энергии 5V для смежных конфигураций имела вид
5V=±Vrs 5qr5qs.
При помощи вещественного невырожденного линейного преобразования
координат Sqi это выражение можно представить в виде суммы
30
Глава II
квадратов его аргументов. Обозначив через в\, в2, ..., вп новое множество
выбранных таким образом координат, имеем
5V = \{Ь1в21 + Ъ2в1 + ... + Ъпв1),
где Ъ\, Ъ2, • • • > Ьп есть некоторые постоянные, зависящие от начального
положения системы и от /г. Обозначим отличный от нуля детерминант
преобразования через то. По известной теореме дискриминант новой
квадратичной формы равен первоначальной форме, умноженной на то. Таким
образом, мы имеем определитель
= то
Ьг 0 0 . . 0
0 0 .
0 0 Ъз ¦
Ьп
Vn V12 ... ... vln
V21 п22 ... ... v2n
vnl vn2 ... • • • ^тгп
который равен
hb2b3 ¦ • ¦ Ьп = тоД. (11)
Чтобы исходная конфигурация была устойчивой, потенциальная энергия1 SV
должна быть положительно определённой. Если это так, то по известной
теореме ф, 62, Ъп тоже должны быть все положительными. Вообще же,
независимо от знака, положительного или отрицательного, величины ф, 62, •
¦ •, Ьп называются "коэффициентами устойчивости" системы2. Квадратичная
форма может быть преобразована к сумме квадратов многими способами,
поэтому и выбор коэффициентов этой формы также не является единственно
определённым. Но каким бы способом не осуществлялось приведение, число
положительных и отрицательных коэффициентов в конечном выражении будет
одним и тем же.
Пока исходная система устойчива, величины ф, 62, Ьп будут положительными,
и переход от устойчивого состояния к неустойчивому (при изменении ц)
сопровождается обращением в нуль и последующим изменением знака на
противоположный у одного из этих коэффициентов. Значения ц, при которых
происходит этот переход, определяются тем же уравнением д
которое служит и для нахождения точек бифуркации.
1 Точнее, её приращение. - Прим. ред.
2 Термин "коэффициенты устойчивости" впервые ввёл Пуанкаре. - Прим. ред.
Устойчивость
31
Отсюда можно сделать вывод, что в точке бифуркации происходит потеря или
