Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
невозможна, основным эффектом перекрытия, которое возможно между
волновыми функциями соседних ям, является не уширение уровней в зону, а
лишь их малые сдвиги. Иными словами, состояниям, между которыми имеется
перекрытие, с подавляющей вероятностью отвечают достаточно различные, по
сравнению с величиной этого перекрытия, энергии, и поэтому здесь основную
роль играет не квантовомеханическое туннелирование с его сильным
перемешиванием состояний, а лишь экспоненциально малые по расстоянию
между ямами изменения сосредоточенных в них волновых функций.
Одним из эффектов, обусловленных этими малыми деформациями волновых
функций, является возникновение у них простирающихся через весь кристалл
осциллирующих "хвостов". Напомним, что, согласно результатам предыдущих
параграфов, волновые функции в картине независимых ям возникали как
основные состояния и поэтому нигде в нуль не обращались. Указанные
"хвосты", как правило, должны содержать очень большое число осцилляций,
так как, согласно результатам §4, дискретный спектр макроскопически
большой неупорядоченной системы является весьма плотным множеством и
поэтому номер любой волновой функции, энергия которой находится на
ненулевом расстоянии от истинной границы спектра, должен быть очень
велик.
243
Разумеется, при подходе к границе, разделяющей дискретный и непрерывный
спектры, описанная картина становится все менее четко выраженной, и
вопрос о структуре состояний в этой области спектра в настоящее время
нельзя считать решенным окончательно (см., например, [32, 101, 151 -
154]).
В заключение заметим, что, поскольку основным фактом, приводящим к
описанной картине локализованных состояний, является возможность
разделения системы на достаточно большие и слабо связанные друг с другом
объемы, такая картина должна возникать всякий раз, когда подобное
разбиение по тем или иным причинам можно осуществить.
§21. Некоторые строгие результаты
Определенная часть найденных выше асимптотик Ф (Е) при Е ~Егр может быть
получена на математическом уровне строгости. Именно, это будет сделано по
отношению к формулам (15.5), (16.6),
(17.5), т. е. в случае ?гр =- оо и плавных потенциалов и в случае ?гр -0.
Тем самым будет дано другое, математически строгое, доказательство
основной формулы (14.9) в указанных случаях.
Используемый ниже метод [128] состоит в получении совпадающих при t~~>оо
оценок сверху и снизу для функции In р (if), где р (t) есть введенное в
§§3, 17 преобразование Лапласа плотности состояний. В § 17 мы видели,
что, коль скоро такие оценки, т. е. асимптотика 1пр(?) при t-+oо,
известны, асимптотика Ф(?) при Е ~ Егр может быть найдена с помощью
формулы (17.2). (Отметим, что как функция р (?), так и формула (17.2) в
настоящем параграфе рассматриваются для обоих случаев: Erv- - оо и ?гр -
0.) Поскольку в этом параграфе уровень строгости изложения несколько
выше, чем в предыдущих, то следует отметить, что указанная формула также
является строгим математическим утверждением, составляющим содержание
теорем, обычно называемых тау-беровыми. Их доказательство можно найти в
работах [147, 148].
21.1. Оценка снизу преобразования Лапласа плотности состояний. [Перейдем
к получению, указанных оценок для р (?) и начнем с оценки снизу. Кик было
установлено в гл. I, из свойств пространственной однородности и
ослабления корреляций потенциала вытекает соотношение
p(t) = <K(г, г; 0>,
где К (г, г'; t)-ядро оператора е~ т в координатном представлении, H =
H0-|-U, H0=s - А. Далее, пространственная однородность и неравенство
Буняковского-Шварца <|2> <1п>3
позволяют написать, что
<К(г, г; *)> = <* (г, г; *)>1/а г'; f)>1/2 >
><*>/*(г. г; <)/fV.(r', Г'; tp. (21.1)
т
Но так как все собственные значения оператора е~т положительны, то его
ядро К (г, г'; t) удовлетворяет неравенству
К (г, г; t)K(r', г'; t)2*JP(r, г'; t) (21.2)
(один из возможных способов вывода этого неравенства состоит в применении
неравенства Буняковского - Шварца к разложению К (г, г'; t) по
собственным функциям оператора Н). Подставляя (21.2) в (21.1), получим,
что
<К(г, г; *)>><*(г, г'; *)>.
Умножим обе стороны этого неравенства на ф(г)ф(г'), где ф(г)>0, J
^(r)dr=l, и проинтегрируем по г и г'. Это даст неравенство
<К (0, 0; 0> > <Ф | е~т | Ф>, (21.3)
фх = J ф (г) dr у
которое можно продолжить, если к его правой части применить неравенство
Пайерлса [85]
<ф|ехр(- Ш) |ф>^ ехр(- f <ф| Н | ф", <ф|ф>=1. (21.4)
Последнее неравенство легко доказывается с помощью разложения оператора
е~т йо собственным функциям Н и неравенства между средним геометрическим
и средним арифметическим (<ехр^>^= ^=ехр<|>) и представляет собой просто
другую форму вариационного принципа для энергии основного состояния.
Таким образом, (21.4) вместе с (21.3) приводят к соотношению
р (0 - <К (0, 0; 0" ФГ2 ехр (- tT<ехр (- Юф. (21.5)
Как мы увидим ниже, это неравенство при соответствующем, выборе пробной
функции, ф и будет давать асимптотически точную при t-+ оо оценку снизу
