Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
динамических уравнений
(10.32) трех случайных функций: i>lt v2 и v2. Чтобы избежать этого
усложнения нашей вычислительной процедуры, произведем соответствующее
сокращение описания, т. е. исключение быстрой переменной сразу на
динамическом уровне. Для этого учтем, что уравнение Фоккера-Планка
линейно по D, т. е. справедливо с точностью до второго порядка по
случайному потенциалу. Поэтому и динамические уравнения достаточно писать
с такой же точностью. Имея это в виду, найдем решение (10.32а) в первом
141
порядке по v и, подставляя результат в (10.326), получим § = -
Г X п
2k2
(10.35)
dt
L о J
где •&"-начальное значение приведенной фазы, не зависящее от значений
потенциала в интервале (0, я). Но с принятой точностью второе слагаемое в
правой части можно заменить его средним значением DJ4k2, так что
динамическое уравнение для|(х) приобретает вид
+ (10-36>
где v2(x) = v2(x)e~2i,&s>, так же как и v2(x), является 6-коррели-
рованной гауссовской функцией. Поэтому 1тп2 является вещественной
функцией того же типа, а тогда, воспользовавшись правилом (10.22) -
(10.23), получаем соответствующее уравнение Фоккера - Планка:
дР Р2 дР Р2 д2Р
дх ~ 4&2 д\ * 8?2 д|2 '
совпадающее, очевидно, с (10.29).
Возвращаясь к формуле (10.14), отметим, что особенно наглядной она
становится в случае потенциала, порожденного независимыми рассеивателями,
т. е. для (10.3). В этом случае
Bv{x) = l~1 J u(x-y)u(y)dy, (10.37)
-> 00
и потому (10.14) можно переписать так*):
-тг- Г. (>0-38)
n?)=ij
где и (к)-фурье-образ и(х), а I-среднее расстояние между рассеивателями.
Нетрудно убедиться, что при достаточно больших энергиях, когда применимо
борновское приближение, | и (2k)/2ik |2 совпадает с коэффициентом
отражения М потенциала и(х). Поэтому (10.38) принимает вид
y(E) = M(E)/2t,
*) В {73]'для этой модели с u(x) = k0&(х) (см. § 6) получены и дальнейшие
члены разложения по обратным степеням энергии:
ко Л к\ \
вытекающий также из следующих простых соображений. Согласно определению
коэффициента отражения, квадрат амплитуды волны, рассеянной на одном
центре, уменьшается в 1 -91 раз. Поэтому затухание амплитуды волны,
прошедшей расстояние х, определяется множителем (1-9L)X^1 ~' ехр (-
91x121), что и даст для декремента затухания приведенное выше выражение.
Таким образом, принимая во внимание еще и результаты, полученные в конце
п. 6.3, можно сказать, что выражение (10.14) для декремента затухания
волновой функции отвечает случаю, когда длина свободного пробега частицы
в борновском приближении у-1 значительно превосходит расстояние между
отдельными примесями / -ц-1, которое, в свою очередь, много больше
радиуса примесного потенциала. Основное неравенство Dt/s<^,k2 - Е,
обеспечивающее применимость использованного нами метода усреднения,
будучи переписано в виде
означает, что длина свободного пробега велика также и по сравнению с
дебройлевской длиной волны Я - Так как согласно (10.37) корреляционный
радиус в данном случае совпадает с г0, соотношение между X и г0 может
быть произвольным. В предельных случаях Х^> гв и X <^г0 для у (Е) имеют
место асимптотические
формулы при Е -> + оо (10.126) с 2D = /_1 (J u(x)dx)2 и (10.136).
Формулы (10.14) и (10.38), так же как их частные случаи (10.126) и
(10.136), показывают, что вид асимптотики у (Е) при больших Е
определяется гладкостью потенциала. Действительно, разложение (10.14) по
обратным степеням Е в предположении, что ВД0) конечна, имеет вид
Но поскольку корреляционная функция пространственно однородного
случайного процесса всегда четна, то В?2л_1>(0) может быть отлична от
нуля только в том случае, если она имеет разрыв в нуле (в случае (10.13)
уже B'v(x) имеет скачок в этой точке). В свою очередь, существование
разрывов у производной (2п-1)-го порядка корреляционной функции означает
разрывность п-й производной реализации потенциала. В частности, скачки
В^п~1у(х) з нуле соответствуют 8-образным особенностям v{n) (я) или
особенностям типа тех, которые имеет белый шум, принимающий независимые
значения в различных точках.
Таким образом, степенной ход у (Е) при больших Е обусловлен разрывами v
(х) и его производных. Это обстоятельство является отражением того, что
здесь в действительности существуют две области энергий, в каждой из
которых рассмотрение должно быть различным. Первая-область не очень
больших энергий, где детальный вид потенциала не играет существенной
роли, и поэтому
143
он- может быть заменен некоторой более простой, как правило менее
гладкой, функцией. В результате подобной замены в потенциале остаются
только корреляции не очень высокого порядка и появляется возможность
вычисления декремента затухания в такой области энергий и его асимптотики
при больших энергиях в этой области. Однако эти энергии, будучи большими
по срав-
длина волны волновой функции, имеющая порядок k~x, была много больше, чем
характерные масштабы изменения v(x) и его производных, т. е. расстояния,
