Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
параметрами размерности длины, но их относительная величина произвольна,
плотность вероятностей фазы все равно удовлетворяет уравнению Фоккера -
Планка. Это уравнение имеет такой же, как и выше, вид, но теперь
коэффициент эффективной диффузии зависит от Е. Эта зависимость
оказывается как раз такой, как в (10.14), и поэтому рассуждения,
приведшие к (10.17) в рассматриваемой более общей ситуации, дадут
(10.14). Это замечание относится и ко всем последующим результатам и
формулам, которые, таким образом, после замены в них D на
139
D (E) оказываются справедливыми в более широкой области энергий.
Но прежде чем переходить к рассмотрению других величин, произведем еще
одно видоизменение нашего вычислительного аппарата. Как мы уже видели и
еще убедимся ниже, метод усреднения по "быстрой" переменной весьма
эффективен при вычислении характеристик одномерных неупорядоченных систем
в области энергий D2/*<^,E (но Е<^.г~2, где гс - радиус корреляции
случайного потенциала, см. подробнее п. 6.3). Определенным недостатком
этого метода является некоторая громоздкость выкладок, необходимых для
получения усредненных уравнений, которая становится особенно заметной при
вычислении кинетических характеристик, где соответствующие уравнения
Фоккера -Планка оказываются весьма сложными. Поэтому мы сейчас опишем
прием, который позволяет получать соответствующие результаты проще и
быстрее и основан на том, что упрощаются не уравнения Фоккера-Планка, а
отвечающие им динамические уравнения. Так как это сокращение описания
осуществляется на более раннем этапе, то объем соответствующих вычислений
уменьшается.
Предлагаемый прием*) также использует условие D2t*k~2<<^ 1, означающее,
что случайный потенциал в определенном смысле мал. Однако не все его
гармоники играют одинаковую роль. Чтобы это понять, обратимся опять к
аналогии с нелинейной механикой. В нашем случае E = k2 играет роль
частоты невозмущенного движения. Так как возмущение мало, то, подобно
тому как это предполагается в теории параметрического резонанса [76], мы
можем считать, что существенное влияние на движение оказывают фурье-
гармоники потенциала либо с малыми номерами | q | q0 &, либо с номерами
±2k~\-q.
Поэтому, учитывая изложенное, напишем случайный потенциал в следующем
виде, содержащем только "резонансные" члены:
v (x) = v1{x)']-v2(x)e2iltx-\-vl (x)e~2lkx, (10.30)
где (х) включает только гармоники с импульсами |^|<^^0А, v2 (х) - только
гармоники с импульсами 2k-j-q, v%(x)- только с -2k-\-q. Значит, функции
v1(x), v2(x) и v*2(x) изменяются на расстояниях, много больших чем &-1, и
статистически независимы. С другой стороны, q0 должно быть выбрано
настолько большим, чтобы vx(x) и v2(x) существенно изменялись на длинах,
много меньших тех, на которых изменяются интересующие нас величины-
огибающая волновой функции и т. п. Эти расстояния, как мы видели, имеют
порядок lx = 2k2/D. При вычислении таких величин и можно по-прежнему
считать 6-коррелированными
*) Близкий по существу, но несколько иной по форме, чем излагаемый здесь,
подход к теории одномерных неупорядоченных систем был впервые предложен в
[109] и подробно описан в обзоре [110].
140
гауссовскими функциями, так что
<Vi (х) v1 (х')> - <р2 (х) v2 (х)> = 2D8 (х-х'), (10.31)
а остальные корреляторы равны нулю. Можно сказать, что потенциал Vi (х)
ответствен за рассеяние частицы, сопровождающееся малым Изменением
импульса, a v2(x) и v*2 (х)-за рассеяние с изменением- импульса почти на
противоположный, т. е., иными словами, за рассеяние вперед и назад.
Как будет видно из дальнейшего, потенциалы ^(дг) и v2(x), vl(x)
играют разную роль. Чтобы было легче проследить затем,
как это происходит, мы временно обозначим коэффициент в кор-
реляторе Vf через Dlt а в корреляторе v2 -через D2 и положим Di~D2 уже в
окончательном ответе.
Введем теперь укороченную фазу ft (х) - ф (х) - kx, которая, наряду с
?(х), является медленно изменяющейся величиной. Тогда, сохраняя в
уравнениях (10.19) только "резонансные" члены, получим следующую систему
уравнений для ft и 1:
ft'^ - vt/2k + f($), (10.32а)
S' -V. П&). (10.326)
= (10.33)
Покажем, как с помощью этих уравнений получается формула
(10.17) для декремента затухания волновой функции. Для этого в
соответствии с правилом (10.22)- (10.23) составим уравнение Фоккера -
Планка, отвечающее системе (10.19):
дР D2 D2 дР . D2 д2Р г.л ".v
~дх~~~ 8F aft2 4Аз а| ^8а2 а|2 *
Далее, так как для вычисления <? (х)>, определяющего декремент затухания,
необходимо знать только плотность вероятностей случайной величины |(х),
то уравнение (10.34) можно проинтегрировать по ft. В результате получаем
замкнутое уравнение, содержащее только ? и совпадающее с (10.29).
Отметим, что мы приходим к уравнениям для плотностей вероятностей
интересующих нас величин, интегрируя более сложные уравнения Фоккера -
Планка, процедура составления которых по правилу (10.22) -(10.23) хотя и
проста, но несколько громоздка из-за фигурирующих в правых частях
