Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дифференцированием (10.156) по х:
y'(x)~k-sin2 ф (х), (10.19а)
V(x)=^-sm&f(x). (10.196)
Обобщая теперь подход, использованный в гл. II, будем смотреть на (10.19)
как на уравнения, определяющие некоторую динамическую систему,
находящуюся под влиянием случайных воздействий, обусловленных потенциалом
ц(л:). При этом координата х. играет роль времени в такой системе. Но
динамическая система, находящаяся под воздействием случайных сил,
совершает "броуновское" движение, характер которого описывается
уравнением Фоккера-Планка для плотности вероятностей соответствующих
динамических переменных, роль которых в данном случае играют ф и ^ Опыт
предыдущей главы показывает, что вид такого уравнения существенным
образом зависит от статистических свойств случайного потенциала. Но, как
было показано в п. 6.3, практически любой потенциал с достаточно быстро
убывающими корреляциями при условии
e-U~D4*
может быть заменен белым шумом -гауссовской случайной функцией с нулевым
средним и коррелятором
В(х-xf) = 2D 6 (я- хг). (10.20)
(Этот вопрос с несколько иных, чем в п. 6.3, позиций обсуждается также в
[112].)
Но в динамической системе вида
Х; = а( (X) -f 2^// Wty (*)" (10.21)
j
где случайные силы Vj (я) являются 6-коррелированными гауссовскими
функциями:
<V{ (х) Vj (*')> s= 2Difb (x-xf), (10.22)
совместная плотность вероятностей Р (лг, X) величин Хг (я), ... ...,
Хп(х) удовлетворяет следующему уравнению Фоккера- Планка:
aF = S + X DiJ ~dxl \^а~дХ^^п/р)\' (10.23)
i i, f, I, n
Чтобы убедиться в этом, будем считать для простоты рассуждений, что
п=* 1 (общий случай рассматривается по той же схеме,
см., например, [80]). Итак, пусть динамическая переменная X
удовлетворяет уравнению
X' *= а (X) +b (X) v (х), (10.24)
137
в котором
<у (л;) v (х')> ~ 206 (х~ х').
(10.25)
Дифференцируя по х равенство Р (х, Х) - <Ь(Х-X (х))> и учитывав (10.24),
найдем
| <8 (Х-Х (*))> = - <6' (Х-Х (х)) (a+bv)> =
= -щ<Ь (X -X (*)) а (Х)>-^<6 (Х-Х (л:))Ь (X) о (*)> =
= -±(аР)-± [6 (X) <6 (Х-Х (*)) v (*)>]. (10.26)
Для дальнейшего преобразования второго слагаемого в последнем равенстве
воспользуемся следующей формулой, справедливой для любой гауссовской
функции v(x) с нулевым средним и коррелятором В(х) и произвольного
функционала R [у] от и(х):
Эта формула в случае конечного числа гауссовских случайных величин vn
выводится простым интегрированием по частям, после чего общий случай
получается предельным переходом (подробнее см., например, [80]).
В нашем случае в качестве функционала R [ц] необходимо взять решение X
(х). Соответствующая вариационная производная 6Х (x)/8v (х') при х' > х,
очевидно, равна нулю, а при х' < х находится путем решения линейного
дифференциального уравнения, получаемого вариационным дифференцированием
(10.24). В результате оказывается, что
а тогда последнее слагаемое справа в (10.26) с учетом (10.25)
преобразуется следующим образом:
В результате (10.26) приобретает вид уравнения (10.23) при ti- 1.
Применяя правило (10.22)-(10.23) к системе (10.19), придем к следующему
уравнению Фоккера-Планка для совместной плотности вероятностей Р (х, ф,
?) фазы ф (х) и логарифма огибающей ?(х) волновой функции:
~У [sin! f М <sin 2<f¦Р)] ~т й [sin 2ф (siI,a ф •р)] +
<v (х) R М> = J В(х-х')
6Х(х)
6и(х') Х=Х'
= Ь(Х(Х)),
D-^[b (X) <6(Х-X (х)) Ь (X (*))>]
дР_
дх
(10.27)
138
Если это уравнение проинтегрировать по то получится, как и следовало
ожидать, уравнение Фоккера - Планка для плотности вероятностей Р (х, ф)
фазы ср (х):
дР ,дР D д
дх дф k2 дф
sin2 ф-^- (sin2 ф- Р) . (10-28)
Нетрудно убедиться, что это уравнение получается из уравнения
(6.14) после замены z -= arcctg (z/k), Р -> Pk~x sin2 ф. Значит, и
решение этого уравнения получается из (6.16) путем этой же замены. Что же
касается общего уравнения (10.27), то найти его замкнутое решение не
удается. Однако если предположить, что D2/tk~2<^, 1, т. е. ограничиться
достаточно высокими энергиями из рассматриваемой области, и иметь в виду,
что для нахождения у (?) нам нужно знать только <? (х)>, то можно найти
приближенное решение. Для этого заметим, что так как D2^ является
единственной константой размерности энергии, характеризующей случайный
потенциал, то условиеD2!*k~%<^\ означает, что в определенном смысле
потенциал v(x) мал. Тогда, как видно из (10.19а), ф' (х) велика и слабо
зависит от х. Значит, фаза ф (х), приведенная к интервалу (0, я), будет в
этих условиях распределена по (0, я) почти равномерно, а тогда Р (,х, ф,
?) практически не зависит от ф, т. е. совпадает с функцией
п~гР (х, |) = я"1 J Р (х, ф, I) dq>.
Уравнение для этой функции, знания которой достаточно для вычисления
<|(х)>, можно получить, усредняя (10.27) по интервалу (0, я). Оно таково:
(\Г) ОП\
дх 4k2 dl ' 8k2 dg2 '
После умножения этого уравнения на ? и интегрирования по ? найдем, что
^<1 (х)> = Jim X"1 <? (х)> = .
Мы получили формулу (10.17). Можно показать [58, 59, 103], что в случае,
когда радиус корреляции гс и длина волны де Бройля являются самыми малыми
