Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
вообще говоря, несколько решений. Однако, как видно из (6.54), для
вычисления <№(Е) можно использовать любое из них. Таким образом, свойство
самоусредняемости <№{Е) не только обеспечивает малость флуктуаций при L -
> оо, но и позволяет обойти весьма нетривиальный вопрос о единственности
решения уравнения (6.55). Это замечание относится ко всем моделям,
рассматриваемым в этом и предыдущем параграфах.
В нулевом приближении по концентрации с уравнение (6.55) принимает вид
я (ф) = я (ф -М*
откуда следует, что для таких энергий, при которых ka - pn/q (р, q -
целые), основной вклад в
л
р (ф) - 2 Pme2imvt Рт = п~1 \ Р (ф)е~21'тФ?/ф
т О
при с 1 дают фурье-компоненты с номерами вида m - tiq (п - целое).
Поэтому, определяя в случае малой концентрации рассеивателей число
состояний oJV*(&) в окрестности таких k, можно использовать в (6.54)
вместо Я (ф) функцию
Я*>(Ф) =.2 *"¦">/>
tl
Используя дополнительные предположения о малости рассеивающего потенциала
и(х) ф, у<^1) и его четности (cc=j3-ka-\-nf2), нетрудно получить
замкнутое уравнение для "резонансных" компонент PnQ. В частности, для <7
= 2, Аг = я;/2а + Д& получаем
г> I 2m 1 п , 2m-f-1 п
1Г*г2т, 2 - /Я, 2 "Г 2 2/Л - 2, 2 I 2 2я* + 2, 2>
тфО, Я=2(дА^~сР), 3s=l+2(|)*.
Отсюда следует, что функция Р0 (ср) = Р(2> (ф/2 + л/4) удовлетворяет
уравнению
(X + sin 2ф) Р0 (ф)-(3s + cos 2ф) Р'0 (Ф) =* А (X), (6.56)
я
Л>(Я) = Л>(0). \ я"(ф)сггр = 1, (6.57)
где
я
А м58 j Яо (ф) sin 2ф dq>. о
Сравнивая последнее выражение с (6.54), видим, что плотность состояний с
принятой точностью пропорциональна производной dAjdk (см. также § 11):
р<?>=!s^SF-s-tt1- <6-58)
Что же касается процедуры нахождения А (X), то она полностью аналогична
использованной в пп. 6.2, 6.4 и приводит в результате к выражению [52]
А(Ц= [l -exp (-р==-)] X
xl f " HTifa-Li. (ЫИ
^0 V 3s - cos 2л: о 3s - cos 2 (х -f- у) '
Мы не будем подробно анализировать эту формулу, а ограничимся лишь
демонстрацией факта возникновения специфической особенности у
плотности состояний при X = 0 (т. е. в центре
зоны). Уже из уравнения (6.56) видно, что значение 3s =1 яв-
ляется выделенным, поскольку в этом случае коэффициент при производной
Р'й может обращаться в нуль. И действительно, из (6.58) и (6.59) следует,
что
р<?)м=?/!й-к-'(/;
3s+l
где К (л:) -полный эллиптический интеграл I рода, или, с учетом
асимптотики К (я) при л: -> 1,
р(?)
л 1
In-2 у/ 3s-1 , 3s-1.
я=0 4ft У~2 У3s- 1
Таким образом, нри 3s-> 1 плотность состояний в центре зоны обращается в
бесконечность. Это дает основание предположить, что в случае 3s- 1,
соответствующем, согласно (6.51), отсутствию рассеяния вперед ((3 = 0),
р(?) будет иметь в центре зоны особенность. Чтобы ее найти, положим в
уравнении (6.56) 3s = 1, в результате чего оно приобретает вид
(X + sin 2ф) Р0 (ф) - 2соэ2фРв(ф) = А (X). (6.60)
91
Общее решение этого уравнения таково:
exp (4tgq>
Р0(Ф) =------ii--------'-х
ихт/ COS ф
С Я
Г еХР (_Ttg<P') л
C + XWJ 2 cos ф' d(P'- 2<V<n'
Х\ я/2 Ф , х , (6-61)
Я
Г ехР(-у^Ф'; п
2 cos <р' >d"• 0<<Р<7-
Величины С и А (X) удовлетворяют двум соотношениям, возникающим из
условий периодичности и нормировки (6.57), причем основной вклад в
нормировочный интеграл, как видно из (6.61), дает область, где <р я/2.
Выделяя этот вклад, получим, что с логарифмической точностью указанные
соотношения имеют вид
2С= А (X) In X, С1пЯ = 1, (6.62)
откуда
А(к) = 2\п-П, (6.63)
и тогда на основании (6.58) плотность состояний
р(?) |^оWI'1 (6-64)
имеет уже встречавшуюся ранее (см. (5.30)) особенность в центре зоны.
Отметим в заключение, что непосредственный предельный переход 3s-> 1 в
формуле (6.59) приводит к выражению (ср. с (6.21))
л W = ^s-[/t(?)+JV§ (!)]", (6.65)
где J0(z), N0(z) - цилиндрические функции. При X->О отсюда также
получается результат (5.30).
6.7. Модель структурного беспорядка (случай отталкивания).
Одной из наиболее содержательных одномерных моделей, как уже указывалось
в гл. I, является модель, в которой потенциал
U (х) = 2 kjb (х-Xj) (6.66)
/
порожден 6-функционными рассеивателями. Случайные точки лу предполагаются
независимыми и равномерно распределенными по прямой, так что плотность
вероятностей расстояний yJ = Xj+1-ху-есть f(y) = l~1exр(-yl~x), а &/
являются не зависимыми друг от друга и от Xj случайными величинами с
плотностью вероятностей Р (k). Эта модель впервые предложена Фришем и
Ллойдом в работе [18] и исследована там же для случая P(k) = 6(k-kQ),
92
ko<0. Случай, когда kj принимают только положительные или только
отрицательные значения с экспоненциальным распределением \kj\, возникал в
п. 6.4 как предельный (см. (6.44), (6.45)). Здесь мы рассмотрим другой
частный случай потенциала (6.66), когда P{k) - b(k-k0), &0 > 0. Некоторые
свойства такой модели уже обсуждались в п. 5.3.
Эволюция динамической переменной z(x) из (6.12) происходит в этой модели
двумя путями. На "пустых" (не содержащих рассеивателей) участках z(x)
