Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
длины на i-м участке для задачи с потенциалом и(х). Тогда из (6.47)
вытекает следующая оценка сверху для <ЛГ?(Я):
JPI(?)<L-1S^1,(?-sl/.), (6.48)
s, i 1
и аналогичного вида оценка снизу, в которой сЛГ(1> заменено на cff(0).
Усредняя фигурирующие в обеих оценках суммы и переходя к пределу Я -
* оо, придем, с учетом самоусредняемости
числа состояний, к неравенству вида
00
^(Е)< ? yfs (у) (E-sV0)> dy
s=0,1 О
и обратному неравенству, в котором olf^ заменено на qN^0). Предельный
переход (6.46) в этих неравенствах технически проще всего выполнить,
произведя замену fs[y)-+afs(ay\ as-^a~las% и устремив затем а к нулю. При
эгом в силу соотношения
lim [ afs (су) yF (у) dy = asF (оо)
а -* 0 о
87
правые части последнего неравенства и обратного неравенства стремятся к
одному и тому же пределу, поскольку согласно результатам § 3 предельная
функция ^^(Е) не зависит от а, т. е. от граничных условий. Таким образом,
окончательно
^(?) = E^<^.(?--st/.)>- (6.49)
Эту формулу можно получить также и в рамках несколько иной модели, в
которой (6.49) возникает сразу, а не как асимптотическая формула при
условиях (6.46). Мы имеем в виду модель, в которой потенциал по-прежнему
имеет вид
?/0s(x)+ ?>(*), s(*) = 0,1,
но длины интервалов tfin на которых s (х) - s, имеют бесконечные средние
значения: <*/*> - оо. Ясно, что это предположение также является одним из
способов формализации свойства плавности изменения случайного потенциала.
В этом случае усреднение неравенства (6.48) и соответствующего обратного
неравенства может быть осуществлено с помощью следующего соотношения:
/ (L) ч
Hm (L-1 2 tnF(yi)) = p5F(oo)t
L-*- 00 1=1
где ps есть вероятность того, что s(x) = s при дг -> оо (при выводе этого
соотношения необходимо использовать равенство lim vs(L) Ь~г = 0,
вытекающее из того, что <у1> - оо). В резуль-
L -*¦ оо
тате, учитывая независимость предельных функций Лч0?) от а, мы опять
придем к формуле (6.49), в которой роль величин а51{а0\~а^) играют
вероятности pst совпадающие очевидно с as/(a0 + при <г/|> = а5<оо. В
случае, когда вероятностные свойства tft не зависят от s, т. е. когда
f1{y)=^f0{y), ps = xU> s -0,1.
Аналогичная схема вычисления <№{Е) может быть применена также в модели, в
которой плавная составляющая U (х) на каждом из интервалов, средние длины
которых по-прежнему бесконечны, может принимать с плотностью вероятностей
Р (U) любые значения U> статистически не зависящие от и от значений U (х)
на других интервалах. В этом случае мы получим формулу
JC (?) = I Л*. (Е- U) Р (У) dU,
по виду уже ничем не отличающуюся от (1.39).
Нетрудно убедиться, что рассуждения, приведшие к этой формуле, имеют
весьма общую природу и не связаны по существу ни с конкретным видом
дальнодействующей части потенциала, ни с одномерностью задачи. Поэтому с
их помощью формула (1.39) может быть доказана для широкого класса плавных
потенциалов и в многомерном случае.
88
6.6. Модель беспорядка замещения. Рассмотрим модель двухкомпонентного -
сплава, описываемую уравнением Шредингера с потенциалом вида
U (x)~^jCjU(x-aj). (6.50)
/
Здесь Су-независимые случайные величины, принимающие значения s = 0,1 с
вероятностями ps, равными 1-с и с соответственно, а потенциал и (х)
отличен от нуля лишь в области 0 ^ х^ а. Такая система может быть
исследована в рамках подхода, развитого в п. 6.1. Однако "ячеечный"
характер потенциала (6.50) допускает иное описание [49, 52].
Потенциал и(х) можно задавать с помощью зависящих от энергии Е (или от k
= V Е) фазовых сдвигов а, |3, у, введя в рассмотрение два линейно
независимых решения (х) и ф2 (х) = = ф[(х) уравнения Шредингера с
потенциалом и(х-/а), таких, что
I gik (x-ja) _ф_ sjn yg-ik (x-ja)-ia^ x ^ y^,.
= \ cos'x>(/ + l)a. (6,51)
Любое решение уравнения Шредингера с потенциалом (6.50) и энергией E = k2
при Су 1 в области ja х ^ (/ +1) а представимо в виде линейной комбинации
этих двух решений. Введем, следуя (6.31), фазу ф(х) волновой функции и
положим ф(Лу + 0)=<ру. Тогда из представления (6.51) следует соотношение
Ф/+i= Ф/ 4* ka + Су А (фу),
где
Д (ф) = arcctg f (ф) -Р, / (ф) = - ctg (2ф - ")-sin у sln' (2ф-и) -
являющееся для неприведенной фазы фу дискретным аналогом динамического
уравнения (6.2). Для приведенной фазы ф - я [ф/я] -> Ф получаем
ctg Фу+х = ctg (Ф/ + ka + с>д (Фу))- (6-52)
Отсюда, приравнивая вероятности правой и левой частей, находим
я
Р/+1 (ф) = 2 Ps S Р/ (ф') б (ф-arcctg ctg (ф' -f ka + sA (Ф'))) dy' =
s о
=?{\ -с) Ру (ф -ka) + сР; (ф' (ф)) ^, (6.53)
где Ру(ф) - плотность вероятностей приведенной фазы фу, а зависимость
ф'(ф) задана соотношением (6.52), в котором Су -1, фу = ф'> Ф/+1 = Ф-
89
В соответствии с (6.3) имеем
[L/ka]
M(E)=lim ?(*,[?]+ ? СуД((р.)) = 1+^<Д((р)>, (6.54)
и °° U -J /= 1
где
я
<Д (ф)> = J Я (<р) Д (ф) ?/ф,
О
а Я (ф) есть решение уравнения
Р(ф) = (1-С)/>(ф-^) + сР(ф'(ф))4? (6.55)
Л
Р(0) = Р(я), $Р(ф)йф=1
О
являющегося стационарным вариантом (6.53). Это уравнение может иметь,
