Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф. В результате получим
= s)+Ci_sP(t, 1 -s),
Л
где Р (t, s) - J Р (t, Ф, s) с?ф - вероятность того, что s (t) = s. Это о
есть уравнение Фоккера -Планка для процесса s(t), которое, конечно, можно
было бы вывести и непосредственно, используя описанные выше свойства
процесса.
Обозначим теперь через Pit, s|?0, s0), t^t0, такое решение этого
уравнения, которое принимает значение 6SSo при t - t0. Это решение
(вероятность того, что $ (?) = s при условии, что s (?0) = s0)
81
равно
Pit, s|5.)^b,s- (1 -e-*.(tm)"-<¦)).
При t -*- оо функция P (t, s {t0y s0) с экспоненциальной скоростью
стремится к пределу
Ps~ ^i~s {Со ~\~Сг) *,
равному вероятности того, что s(t) = s. Поэтому вероятность события
s(/1) = s1) ..., s(/") = s"; + ..., s(^ + a) = s",
где tx < ... < tn < ^ + cl < ... < ?я -f а, которая в силу марковского
свойства функции s(2) есть
S, I О, S,)...P s"|0, s"_,)x
xP(h+a-t", s,|0, sn)...P(tn-t"_" s"10, s"_,),
зависит только от разностей координат и при ->- оо с экспоненциальной
скоростью стремится к квадрату вероятности события s(^)=*Sj, ..., 8(/я) =
8л. Таким образом, в данной модели имеют место свойства пространственной
однородности и ослабления корреляций.
Вернемся теперь к системе уравнений (6.33) и запишем ее в виде
^ + ^[(1"xs(0sini4)PJ] = c1_<yP1_jr-,csPs, $= 0, 1, (6.34)
где Ps(t, ф) = Р(/, ф, s). Решения этой системы должны удовлетворять
условиям я-периодичности
Ps(t, 0) = Ps(t, я)
и нормировки
я
s $/>,(*, 4>)df=l. (6.35)
s=0, 1 ?
Просуммировав (6.34; по s, получаем уравнение непрерывности
(6.5) для плотности вероятностей фазы Р (t, ф) = Р0 (t, ф) + + Pi {U ф)"
в котором роль потока играет величина
"М*. ф)- S (1-S*sin2 ф)/",(*, ф).
S=0, 1
Переходя здесь к пределу t -> оо и учитывая, что в силу соотношения dy/da
> 0 и формулы (6.33) имеем
J (E) = k\imJE(tf ф),
i-> оо
находим, что стационарные решения Р,(ф) системы (6.34) связаны
соотношением
Л>(ф) + 0 - я sin2 ф) (ф) = А_;1/ (?), (6.36).
82
выражающим условие независимости стационарного потока от приведенной
фазы.
Исключая с помощью (6.36) Pi(<p) из системы (6.34), приходим к замкнутому
уравнению для Р0(ф):
(1 - xsinacp)Po + [CoO -'X'Sm2(f) + c1]P0 - c1k~1J (?),
в которое J (Е) входит как параметр. Так же как и в п. 6.2, решение этого
уравнения можно получить в явном виде, после "го ЛЕ) определяется из
условия нормировки
0
(последнее нетрудно получить, интегрируя стационарный вариант (6.34) по ф
от 0 до я и используя (6.35)). Учитывая, что в силу полуограниченного
характера спектра (J (-оо) = 0) имеет место соотношение
J(E) = <№(E, -oo)^df(E), приведем соответствующие результаты:
^(?)=-етггг'1(Я)>
1) Е > U0 (надбарьерная область):
я/2 а
1 (т)-ф*<")И*сЬФ+<р>.
О о
(6.37а)
(r)^")=c-"+Tfearcts('fe)-
2) Е <U0 (область флуктуационного спектра):
-а0 ~Яо
И7(?)~л; -с0 J da J бфехр[Ф_ (а)- Ф_ (P)]-f-
-я+сх0 а
а0 а
+ с0 J da J #ехр[Ф_(а)-Ф.(р)], (6.376)
-а0 -а0
Ф_ (а) = <** + -?=ln ^i"7a"i .
w 2 -1 sin (а-f а")
где а0-корень уравнения xcos2a=l, лежащий в первом квадранте.
Хотя формулы (6.37а) и (6.376), задающие <№(Е) справа и слева от точки
(/0, различны, можно показать, что как число i№(E), так и плотность
состояний р(?) непрерывны при E = U0. Однако уже следующая производная р'
(?) терпит разрыв в этой
аз
точке, что является следствием разрывного характера потенциала V(x).
Укажем теперь более простые асимптотические формулы для оЛГ (?") на
характерных участках спектра и, в первую очередь, на его концах, а также
обсудим вид <№(Е) для различных предельных случаев изменения параметров
а0 и ах.
1. Правая граница спектра (?-"-оо):
2. Левая граница спектра (Е -0):
u*/F\~ 1 exp (-л/а0 У~Ё)
* W ~ aQ + alHt a^U^) *
где
H(x,y) = e-'je-<(r^y/idt.
0
Определенный интерес представляет изучение различных предельных случаев,
когда параметры а0 и ах очень велики или малы.
Так как а0 и ах есть средние ширины ям и барьеров, то случаи, которые мы
хотим рассмотреть, соответствуют ситуациям, когда либо ямы, либо барьеры,
либо те и другие вместе становятся или очень широкими, или очень узкими.
Сразу заметим, что случаи, когда только один из параметров стремится к
нулю или бесконечности, наименее интересны, так как все такие предельные
переходы дают для Ж{Е) выражения вида *) лг1 У~Е или л-1 У Е - U0,
соответствующие ситуациям, когда потенциал почти всюду равен нулю или U0.
а) Средние длины а0 и ах одновременно стремятся к бесконечности, так что
отношение ajax фиксировано:
Ж{Е)ж *>УЕ+а-\УЕ-Ц± (6 40)
v ' я (во-Mi) v 7
Такой вид №(Е) в этом предельном случае легко объяснить. Действительно,
при а0, > оо одновременно потенциал на очень
длинных участках остается практически постоянным и потому дает просто
случайный сдвиг Е (напомним, что и
#i/(#3-f-ai) есть как раз вероятности того, что U(x) равен 0 или U0
соответственно).
б) Средние длины а0 и ах одновременно стремятся к нулю, так что ajax
фиксировано:
С*¦(?)"*"/ Е-^и0. (6.41)
*) Здесь и далее мы будем говорить только о главных членах
