Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Кронига - Пенни, потенциал имеет вид U0s(x)f где ?/0 > 0, а случайная
функция s(x) принимает значения 0 или 1 на интервалах, длины которых
являются независимыми случайными величинами с плотностями вероятностей
fo(y) - aQle~ и f1(y) = ai1e~yсоответственно. Потенциал такого вида может
служить моделью для описания одномерного двухкомпонентного сплава с
концентрациями компонент а0/(а0 + at) и ау^о + я*) в том случае, когда
расстояния между атомами малы по сравнению с длиной волны электрона.
Следующие соображения поясняют его выбор. Рассмотрим потенциал (1.16) с
расстояниями yf, распределенными по закону f(y)~ l~xe~v!l> отвечающему
независимым и равномерно (с плотностью я = /-1) рас-
где
79
пределенным случайным точкам ху. Такой потенциал принимает независимые
значения в различных точках (например, его корреляционная функция В (х) =
<.U (х) U (0)> - <Uy - kll-Ч (х)). Поэтому можно считать, что он
соответствует точечным не взаимодействующим друг с другом примесям.
Естественно предположить, что простейший из более сложных случаев, когда
допускается взаимодействие только ближайших соседей, должен
соответствовать потенциалу, обладающему марковским свойством. Именно это
свойство случайных процессов представляется статистическим аналогом
взаимодействия ближайших соседей, подобно тому как статистическая
независимость аналогична отсутствию взаимодействия *). Напомним, что
случайный процесс U (х) называется марковским [14, 51], если его
вероятностные • свойства в точках, лежащих правее х, определяются только
значениями процесса в данной точке, а не во всех предыдущих точках х' ^х,
как это имеет место в общем случае.
Если дополнительно предположить, что мы рассматриваем двухкомпонентный
сплав с очень малым межатомным расстоянием, то нужно считать, что U (х)
может в каждой точке принимать лишь одно из двух возможных значений.
Иными словами, все реализации такого потенциала должны быть кусочно-
постоянными функциями с двумя возможными значениями, скажем 0 и U0 > 0.
Но марковский процесс такого вида, по существу, единствен. Действительно,
пусть Р (xlt х2) есть условная вероятность того, что U (х), уже бывший
постоянным на интервале длины хи будет еще сохранять это значение на
интервале длины, не меньшей х2. По теореме умножения вероятностей
Р(0, х1 + х2) = Р(0, х1)Р{х1, х2).
Но из свойства марковости потенциала U (х) вытекает, что Р (хи xi) не
зависит от xlt а тогда Р (0, х) = ехр (-х/а), где величина а может
зависеть только от того, какое из двух возможных значений процесса
рассматривается.
Таким образом, при сделанных предположениях случайный потенциал U (х)
представляет собой последовательность прямоугольных барьеров одной и той
же высоты U0, причем длины барьеров и промежутков между ними являются
независимыми случайными величинами с плотностями вероятностей
fs (У) = я*"1 exp (-y/as), s = 0,1.
В рассматриваемом случае удобно ввести новую фазу ср(х) с помощью
соотношения
ctga = &ctg(p, &2 = ?> 0. (6.31)
Нетрудно видеть, что основные формулы (6.3), (6.7) -(6.9) для числа
состояний справедливы и для фазы ф, однако в качестве
*) Аналогичная ситуация имеет место в статистической физике одномерных
классических систем, например в модели Изинга (см. [12]).
80
Ф?(?/, ф) теперь фигурирует правая часть уравнения для ф:
<p' = A-^Wq>s(r)?({/, ф). (6.32)
Последнее уравнение можно записать в виде
ф' (/) = 1 -xs (t) sin2 ф (t), h-UJE, t=ikx,
где теперь s(tf)--случайная функция, принимающая значения О или 1 на
интервалах, имеющих вероятностные распределения с0е~с*1 и c1e~Cit (cs =
(ask)~1, k2 - E). Отсюда, в частности, следует, что в течение малого
промежутка At функция s (?) с вероятностью 1-Д/+ о (Д?) останется равной
s и с вероятностью с5Д?+о(Д?) примет значение 1-s.
Так как ф(?) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка, в
котором марковская функция s (?) является коэффициентом, то значения ф
(t) при t > т определяются значением ф(т) и поведением s(f) для ^^(т, t).
Поэтому пара функций (ф, s) образует двумерный марковский процесс. Пусть
Р (t, ф, s)d(f есть вероятность того, что ф(0б(ф, ф + ^ф). s(t) = s. При
этом Р (t, ф) получается, если просуммировать Р (t, ф," s) по s. Для
функции P(t, ф, s) можно вывести уравнение, которое играет роль уравнения
Фоккера - Планка в данном случае. Чтобы это сделать, подсчитаем, как
изменяется функция Р (/, ф, s) на участке (t, ? + Д/). Состояние (ф, s) в
точке t-\-At может получиться из состояния (ф - (1-Х5зт2ф)Д?, s) в момент
t, если на интервале At процесс s(?) не изменял своего значения, либо из
состояния (ф, 1-s), если за время At произошел один скачок. Подсчитывая
соответствующие вероятности с учетом того, что вероятность более чем
одного изменения на At есть о (At), придем к следующему уравнению:
аР(*)/м) = ^ [(-1 + sin' <Р) P(t, ф, S)] -
-csP(t, ф, s)-f-C!_5P(/, ф, 1-s). (6.33)
Прежде чем приступить к решению уравнения (6.33), проинтегрируем его по
