Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
\E-U\<^r?. (6.23)
Чтобы увидеть, каков параметр, определяющий порядок величины тех
флуктуаций потенциала, которые дают основной вклад в спектр в этой
области энергий, заметим, что при переходе к белому шуму конечное
значение сохраняет величина
2D = J Bv(x)dx. (6.24)
- 00
Поскольку гауссовская случайная функция полностью задается своей
корреляционной функцией, которая в случае белого шума имеет вид (6.11):
В (х) - 2D б (х),
и содержит только один параметр D, то в рассматриваемом пределе D будет
единственным "размерным" параметром задачи. Это значит, что порядок
величины соответствующих флуктуаций
составляет D*/", и, следовательно, в уравнении (6.13) естественно
сделать замену переменных (переменную, аналогичную t, в нелинейной
механике принято называть медленным временем [57, 56])
D-V*2 = ?.
В результате получим уравнение
I = _ ?* _.(? _ О) ?-*/* +D-V.0 (to-1/.). (6.25)
Чтобы сделать последующие рассуждения более наглядными, предположим, что
корреляционную функцию Bv(x) можно записать в виде
Bv {х) =* о2Ь (xlre), о = Щ, (6.26)
где b (?) -безразмерная функция безразмерного аргумента, являющаяся
величиной порядка единицы при ?=*0 и стремящаяся к нулю при ?-*оо. Будем
также предполагать, что
= (6.27)
Тогда параметр <т и5 (6.26) по порядку величины равен среднеквадратичному
отклонению У= случайной вели-
чины v(x), определяющему характерную амплитуду возможных флуктуаций
случайного потенциала вокруг его среднего значения.
В силу (6.26) случайная функция u(t) - D~^"vиз (6.25) характеризуется
коррелятором
BoW = <"(0)"W> = ^6(54-J.
В записи этой формулы учтено, что согласно (6.26) и (6.27)
77
параметр D из (6.24), о2 и ге связаны соотношением
2 D = o*rc.
(6.28)
По смыслу всего сказанного выше коррелятор Ви (t) должен иметь 8-образный
характер, для чего необходимо, чтобы комбинация Dlf*rc была мала:
Учитывая (6.28), это условие можно записать также в виде
показывающем, что характерная энергетическая ширина Ds/* той области, где
потенциал выглядит как белый шум, гораздо меньше, чем характерная
амплитуда его флуктуаций. Это, в частности, обеспечивает симметричный
характер распределения их вероятностей.
Тот факт, что в пределе (6.29) случайная функция u(t) будет иметь именно
гауссовское распределение, демонстрирует следующее рассуждение. Формулы
(6.22) и (6.26) показывают, что если w(t)- случайная функция с
коррелятором b(t), то v (x) - ow(x/rc). Естественно считать, что в
исходной задаче о есть масштаб энергий, а гс - масштаб длин. Тогда w(t)
принимает значения порядка единицы и изменяется на таких же расстояниях.
Возникшая выше случайная функция u(t), очевидно, равна
рованных случайных величин. Как известно, такая сумма приобретает при
неограниченном росте числа слагаемых N гауссовское распределение в том
случае, когда каждое слагаемое имеет порядок N-1/*. Именно такое
соотношение между числом и амплитудой слагаемых и имеет место в нашем
случае, поскольку
Если теперь, в дополнение к условию (6.29), величина E - U в (6.25) также
будет иметь порядок D^> (т. е. будет конечной в пределе art -> 0), то,
обозначая ее через eD*/", придем к уравнению
которое уже не содержит явно малого параметра D1/src и поэтому
сохраняется в рассматриваемом пределе. Таким образом, замена потенциала
общего вида гауссовским белым шумом при вычисле-
78
(kcrcy/> = D'S>rc^\.
(6.29)
D*1* а2,
Интеграл J u(t')dt' является аналогом суммы слабо скоррели-о
t t и-*
5 "(*')<#' = к ]/2 5 w {?)<№.
о
о
?=?¦-8 + 11(9,
(6.30)
нии плотности состояний возможна лишь при выполнении условия
для энергий, попадающих в интервал
\Е -U \~ ?>Ё/*е,
где е-безразмерный параметр, a D определяется формулой (6.24). При этом
формула для числа состояний будет иметь вид
a F (х)-не содержащая параметров функция (задаваемая фактически формулой
(6.18)).
Разумеется, приведенные соображения нельзя рассматривать как строгое
доказательство перехода u(t) при перечисленных условиях в гауссовский
белый шум. Однако если корреляции потенциала U (я) достаточно быстро
убывают, так что не только функция (6.22), но и все высшие неприводимые
корреляторы существенно убывают на расстояниях, превышающих гс> то такая
сходимость будет иметь место. Убедительные эвристические соображения в
пользу этого можно найти в [57], а строгое доказательство дано в [58]
(см. также статью [59], посвященную дальнейшему развитию вопроса и
содержащую ссылки на более :поздние работы, посвященные обоснованию
подобных предельных шереходов).
В заключение отметим, что с переходом к белому шуму в области
сравнительно небольших энергий (отсчитанных от среднего значения
потенциала) мы еще столкнемся в п. 6.7, а также в гл. IV, посвященной
флуктуационной области спектра в многомерном случае (см. п. 15.2).
6.4. Модель прямоугольных барьеров случайной длины. Рассмотрим теперь
несколько более сложную модель [50], которая тем не менее допускает
точное решение. В этой модели, являющейся обобщением известной модели
