Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
77 = 0, ф {x)U {x')> = 2Db{x-x').
Производящий функционал такого потенциала имеет вид (2.6) с
?(х) = 2?>6(х), (6.11)
а сам потенциал в соответствии со сказанным в п. 2.2, очевидно, обладает
свойствами пространственной однородности и ослабления корреляций.
Введем новую динамическую переменную
z = ctg ос = ф'/ф, (6.12)
удовлетворяющую согласно (6.1) уравнению
z' = - (Z* + Е) +U Сх). (6.13)
Для плотности вероятностей Р (х, z) величины z в точке х можно вывести
уравнение Фоккера - Планка (процедура вывода в более
общей, чем (6.11), ситуации описана в § 10; см. также [80]). Это
уравнение имеет вид
w=l((z,+?)p+D^)- <6Л4>
т.е. является частным случаем уравнения непрерывности (6.5) с .
плотностью потока
/"(*, г) = -(г"+?)Р-0-^-.
Переходя к пределу х-+оо и учитывая, что z' (а) < 0, в соответствии с
(6.10) получаем
J(E)^(z*+E)P+d?, (6.15)
74
где теперь Р (г)- стационарная плотность вероятностей величины г. Но
(6.15) является уравнением для Р (г), решение которого находится без
труда:
7W=exp (-ш-2г) ! е*Р {т+§)dt- (6-16>
- во
после чего J (Е) определяется из условия нормировки Р (г) на единицу и
имеет вид
00 X
= $ dx J dy exp (Ф (у)-Ф(х)), (6.17)
- 00 - 00 Ф (*) =Г х3/3 + Ex/Ds/*.
Впервые этот результат был получен в [18] путем предельного перехода &0-
*0, / ->-0, kfl'1 ~ 1 от потенциала (5.21) к "белому шуму". В [9] для
потенциала "белый шум" обсуждалось вычисление не только числа состояний,
но и спектральной плотности (1.30) и проводимости (1.32).
Формулу (6.17) можно преобразовать к виду
во
J-4E) = n'/-D-y- J*-*/.exp(-^-j?W (6.18)
О
откуда найдем, что
J (Е) "•я-Ч Е |V. exp (-1 t§L^) (1 + 0 (у^д)) . (6-19)
?<0, |?|>DV.,
7 (?)"*-i?7,(l+|g+0 (6.20)
?>0, ?>D^..
Согласно (6.17) lim J (E) - 0, и поэтому J (E) = off (E), где
E ->¦ - во
<№(E) = df(E, -оо)-число состояний с энергией от -оо до Е, приходящееся
на единицу длины в бесконечной системе.
Отметим, что, переходя к фурье-компонентам в уравнении (6.15), можно
получить и иное по сравнению с (6.18) представление для числа состояний
<№(Е) [9]:
сГ (Е) [Ai2 {-ElD'l")-f-Bi2 (- ЯД)8/")]-*, (6.21)
где Ai(x) и Bi (x) - линейно независимые решения уравнения Эйри [71]
у" - ху-0.
6.3. Свойства спектра в окрестности среднего значения потенциала. Если
амплитуда выбросов случайного потенциала достаточно велика, а радиус
корреляции, напротив, мал, то при
75
энергии, близкой к среднему значению потенциала, последний будет очень
похож на белый шум. Поэтому модель из п. 6.2 в соответствии с общими
соображениями об аппроксимирующих моделях, изложенными в п. 1.1, может
хорошо описывать свойства спектра в окрестности среднего значения
потенциала. В этом случае число состояний
aAP(?lf Е2)^1(Е2)~1{Ег)
для энергий, принадлежащих окрестности среднего потенциала, может быть
получено с помощью формулы (6.18). Здесь будут изложены соображения,
позволяющие увидеть, каковы именно должны быть свойства потенциала
(величина флуктуаций и корреляционный радиус), для того чтобы его можно
было заменить белым шумом, и в какой области энергий такая замена
возможна. Более того, как мы увидим позднее, для потенциалов,
удовлетворяющих сформулированным ниже условиям, модель типа белый шум
правильно описывает в окрестности среднего потенциала не только плотность
состояний, но и декремент затухания огибающей волновой функции,
проводимость, характеристику локализации волновой функции (см. гл. III),
коэффициент прохождения плоской монохроматической волны (гл. VII).
Как было показано, плотность состояний полностью определяется
распределением вероятностей фазы а волновой функции или любой функции от
а, в частности величины г. Поэтому достаточно выяснить, при каких
условиях вероятностные свойства z(x), определяемой уравнением (6.13) с
произвольным U (х), близки к вероятностным свойствам z(x), отвечающей
белому шуму, т. е. 6-кор-релированной гауссовской случайной функции. Так
как последняя имеет распределение, симметричное относительно ее среднего
значения, то естественно с самого начала выделить это значение:
U (х) - U + V (х), U ~<U (х)>, <v (х)> =*0.
Поскольку мы хотим получить б-коррелированную случайную функцию,
необходимо предположить, что v (х) в рассматриваемой области параметров
изменяется гораздо быстрее, чем волновая функция ф(х). Но такая ситуация
возможна только при сравни-;; тельно небольших энергиях, когда
характерные длины, на кото-
рых меняется ф(х) (длина волны де Бройля, радиус связанного состояния),
много больше, чем корреляционный радиус потенциала. Так как указанные
длины уменьшаются с ростом абсолютной величины энергии, то ясно, что 6-
коррелированный потен-* циал является хорошей аппроксимацией
исходного в области
энергий, близких к среднему потенциалу. Если обозначить через гс
корреляционный радиус потенциала v (х), т. е. расстояние, на котором
существенно убывает его корреляционная функция
Вр(х-х') = < v(x)v(x')>, (6.22)
76
то эту область энергий можно выделить неравенством
