Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Интегрируя уравнение (6.2) по х в пределах (О, L) и подставляя выражение
для a (Я, Е) в (6.3), перепишем эту формулу в виде
qI!I*(?i, Яг)-л"1 "Ф?г (17, а)>ст -<Ф?1 (?/, а)>ст), (6.4)
где справа теперь усреднение производится по совместному стационарному
распределению случайного потенциала U (х) и фазы а(х), приведенной к
интервалу (0, л).
. Рассмотрим теперь функцию РЕ{х, а) = <бп(а(х, Я)-а)>, где
бп(а)== 2 б (а - пл) -- л-периодическая б-функция; Я?(х, а) яв-
п= - ОО
ляется плотностью вероятностей распределения приведенной фазы ос. С
помощью (6.2) найдем, что
Щ^ЦК(СС(Х, Е)-а)^%Щ =
¦= - ?<6п(а(х, Е)-а)Фе((/, а",
или
дРЕ(х. а) . dJE(x, a) Q ^
дх да ' \ )
Здесь
JE(x, ос) = <бп (а (х, Я) -а)ФЕ(и (х), а(х, Я))> (6.6)
есть поток вероятности, а само соотношение (6.5) есть просто уравнение
непрерывности, выражающее собою закон ее сохранения-постоянство во
времени нормировки РЕ(х, а):
я
J РЕ(х, <x)da,- \. о
При х->-оо поток /?(х, а) стремится к своему предельному значению J (Е),
не зависящему ни от х (в силу возникающей пространственной однородности),
ни от а (согласно (6.5)):
л
7(Я) = lim л-1 С JE(x, a) da - л"1 <Ф?((/, ос)>ст.
о
Это соотношение вместе с (6.4)' позволяет выразить "^(Я*, Яа)
непосредственно через стационарный поток вероятности J (Е):
4Г(Еи ЯгН^Яг)-/^). (6.7)
Отсюда с учетом (6.6) и того, что J (Я) - lim JE (х, а) при любом а,
X -*¦ оо
следует также, что
Jf (?" Яг) = <Ф?1((/, 0)>ст-<Ф?1(Я, 0)>ст. (6.8)
72
Здесь для вычисления средних необходимо знать стационарное распределение
величин U и а лишь при а = 0.
До сих пор мы предполагали, что потенциал не имеет 8-образных
особенностей. Но, как нетрудно убедиться путем предельного перехода,
полученные выше формулы (6.3) и (6.4) для elf (Elt Е2) справедливы и
тогда, когда U (х) имеет 8-образные особенности (например, для
потенциалов (1.7) с u(x) - k06(x)). Нужно только иметь в виду, что теперь
а(х) претерпевает разрывы в точках, где сосредоточены б-функции. Величина
этих разрывов определяется уравнением (6.2) и требованием, чтобы значения
фазы слева и справа от этих точек лежали на одной и той же ветви
котангенсоиды (в одном интервале вида (mxjt, (mt+1) л)).
Таким образом, формулы (6.3) и (6.4) являются универсальными и
справедливы для любых случайных потенциалов. Они показывают, что для
вычисления Е2), а значит, и р (Е)
необходимо знать совместное распределение вероятностей потенциала и
приведенной фазы или распределение вероятностей не-приведенной фазы при
х-* оо. Эти функции во многих интересных случаях удовлетворяют
определенным интегральным (типа Смолуховского) или дифференциальным (типа
Фоккера-Планка) уравнениям, которые описывают вероятностную эволюцию
величин U (х) и а (х, Е) и могут быть выведены на основании (6.2) с
учетом вероятностных свойств рассматриваемого потенциала. Поэтому вид
таких уравнений (см., например, ниже уравнения
(6.14), (6.33), (6.55), (6.69), (6.90)) не является единообразным, в силу
чего методы их получения и исследования специфичны в каждом конкретном
случае или в ряде сходных случаев. Этим вопросам будут посвящены
следующие параграфы настоящей главы.
Универсальные формулы (6.3) и (6.4) не всегда оказываются удобными при
конкретных расчетах, первая - потому, что явно содержит операцию
предельного перехода, вторая - потому, что для нахождения olf (?i, Е2)
требуется, кроме знания стационарной плотности вероятностей PE(U, а),
величин U (х), а(х, Е),
еще и вычисление интеграла J Ф (f/, а) РЕ (U, а) dU da. Но, располагая
дополнительной информацией о рассматриваемом случайном потенциале, можно
получить более простые выражения для оАГ (?*!, ?*). Так, если известно,
что U (х) не содержит б-об-разных особенностей, то, используя вместо
(6.4) формулы (6.8) и (6.2) (в которой а=^0), найдем
clf(?i, ?t) = Pffe(0)-PBt(0); (6.9)
здесь РЕ{а)-стационарная плотность вероятностей одной приведенной фазы.
Этот результат является весьма примечательным, так как позволяет по
известной РЕ(ос) находить число состояний сразу, без каких-либо
дополнительных операций.
73
Во многих интересных случаях (см. ниже пп. 6.2, 6.4, 6.7, 6.8, § 8) мы
будем также пользоваться формулой (6.7) для числа состояний. Она особенно
удобна тогда, когда для потока плотности вероятностей JE(x, а) удается
получить явное выражение или когда величина стационарного потока J (Е)
явно входит в те или иные уравнения задачи. Если при этом вместо
приведенной фазы а используется некоторая другая переменная а), то,
производя соответствующую замену в уравнении (6.5), нетрудно убедиться,
что величина J (Е) в формуле (6.7) равна
J (?) = lim JE{x, f (a)) sign /' (а), (6.10)
X -*¦ "
где JE(x, /(а))-поток плотности вероятностей /(а).
6.2. Модель потенциала типа "белый шум". Мы начнем с рассмотрения
простейшего случая, когда потенциал U (х) в (6.1) представляет собой
"белый шум" [9], т. е. гауссовскую 6-корре-лированную случайную функцию с
нулевым средним:
