Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
диагонального элемента матрицы G, соответствующей наличию N
рассеивателей, расположенных в точках tu t2, ..., tN. В частных случаях N
= 0, 1, 2 для величины Gfi2 из (30.8) получаем:
iV = 0 Gna =ехр (-2JF),
N - 1 Giia (У = (1 -ц)а ехр (-2J?), (30 32)
дт ,о л-г // f\ (1 р)4 ехР ( 2Х)
°11 - (1 _^2 ехр (_2 ! |))а ,
где {1 = к0/(1 +ио)-амплитуда рассеяния на одном центре, через которую
матрица Т (30.10) выражается следующим образом:
Целью настоящего пункта является получение разложения декремента
затухания
Vt=:-J?-4n<(r)#> (30.33)
по степеням концентрации с. Используемая для этого процедура аналогична
методу получения вириальных разложений по степеням активности в
статистической физике [13,84] и отражает факторизацию выражения (30.8) по
отношению к кластерам из небольшого числа близко расположенных примесей.
Перепишем
(30.31) в виде
х
(r)* = (/,gS dtt ... dtNGn'(ti tN), (30.34)
О
где (?й*(У •••, tu)-симметричная функция своих аргументов, совпадающая
при < fa<.. .< fjv с Gfi2(^, ..., trf из (30.31), после чего
воспользуемся тождеством, приведенным в начале п. 22.2, понимая в нем под
FN(rг2, ..., rN) функцию
&e(*i *nY-
6йг ('г.....t") = Gn'+;S ("и (<,)-8a*) +
+ 2 (йй'(<" <y)-6"*(<,)-Oa*(</) + &51) + ... (30.35)
1< i</< N
Для получения разложения декремента у$ с точностью до членов порядка с2
включительно достаточно учесть в этом тождестве лишь явно выписанные
слагаемые, для которых функции Gji2, да-
346
ваемые формулами (30.32), и Gn совпадают. Подставляя эти выражения в
(30.35), воспользовавшись соотношениями (30.34),
(30.30) и выполнив суммирование по N, приходим к равенству
откуда для декремента затухания (30.33) при получаем
Результат (30.36) можно получить и непосредственно из формулы
(30.30), учитывая в ней только слагаемые с W = 0, 1, 2.
В дискретном варианте, когда возможные положения рассеивающих центров
образуют решетку с постоянной а, формула (30.37) приобретает вид
Дополнительное по сравнению с непрерывным случаем слагаемое порядка с2
появилось из-за учета невозможности попадания двух примесей в одну и ту
же точку.
Аналогичным образом можно получить разложение по концентрации и для
показателя роста волновой функции у(Е). Для этого следует применить точно
такую процедуру к функции
Декременты затухания средней прозрачности (30.36) и прозрачности на
типичных реализациях (30,39) отличны друг от
f
У$ - 2 + cp (2- p)+c2<5%,
(30.36)
где
(l_^2g-2<7*a)2
(30.38)
2qyN(E; tu ..., tN) = - InGji2^, ..., tN),
в результате чего приходим к формуле
2qy (Е) = 2-с In (1 - р)а 4- c*S2 -f-..., (30.39)
где
оо
Sa = 2$ In (1-рЛг**)<#.
о
друга уже в первом порядке по концентрации. Причина этого расхождения,
очевидно, связана с различием между типичным и репрезентативными
конфигурациями, о котором неоднократно уже шла речь выше.
Результат (30.39) интересно сравнить с показателем роста для случая
периодически расположенных примесей с концентрацией с. В такой ситуации
матрица G есть (см. (30.8))
G = gN, g -G° (1 /2с) TG° (l/2c).
Из формулы (30.29) следует, что
д>н (?)~(Gm")-*~?^,
где Gmax и gmax-наибольшие собственные значения матриц G и g
соответственно, и поэтому
2?v(?) = -!fl§^ = 2clngmas. (30.40)
Матрица g имеет вид
/'(1+"о)ехр(с-1) х0 )
ё V -(1- *о)ехр(-с-1)) *
а ее наибольшее собственное значение является корнем уравнения
¦ gz-2g (chc-1-l-x0 she-1) 4* 1 -0" откуда при условии с<^1 следует, что
йпах" 0-Ио) ехр (с-1).
Подставляя этот результат в (30.40), окончательно получаем
2qy (Е) = 2-с In (1 -р)2-{-(1 -ц) ce~1/c-j-0 (е~ 2/с). (30.41)
Таким образом, при малой концентрации примесей показатель роста для
неупорядоченной системы (30.39) с точностью до первого порядка по
концентрации включительно совпадает с таковым для системы с периодически
расположенными примесями (30.41), однако порядки следующих членов
существенным образом различаются.
Перейдем к трехмерному случаю. Поскольку в трех измерениях локальный
потенциал 6-функционного типа, как известно, приводит к расходимостям, то
мы, как и в § 1, в качестве модели локального возмущения, обусловленного
одной примесью, возьмем интегральный оператор иу с ядром вида
и}{г, г') = т/(г-гу)/(г' -г;).
Здесь / (г)-функция с острым максимумом, сосредоточенная в сфере радиуса
Тогда при т>0 (отталкивание) нерезо-
нансную область энергий, как и в одномерном случае, составляет интервал 0
< Е < U9, и распределение примесных центров
348
можно считать непрерывным. Если же т < 0 (притяжение), то нерезонансная
область энергий существует лишь тогда, когда примеси образуют решеточный
газ (site disorder) или, более общо, когда они не могут сближаться на
расстояние, меньшее некоторого фиксированного. В этом случае можно
перейти к пределу потенциала нулевого радиуса г0 -0, / ~ г^2 (в случае
отталкивания такой предел тривиален).
Мы рассмотрим только случай притяжения как наиболее интересный. Рассуждая
в существенном так же, как при получении (30.36), (30.38) и (30.39), и
