Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
где функция
Флr{y, Я) = \. .. i\jdX1...dk2-b(s- 23 О о \ /=1 /
представляет собой площадь сечения Л/'-мерного куба со стороной у (N-1)-
мерной плоскостью, отсекающей отрезки длиной Я на осях. Используя этот
факт, нетрудно получить, что
= Флг(оо, Ny-Я) = к \,-тГ<у<
\ <*-"> N ** N - I '
^фд,(оо, <&) = {N_l)r -^-<у<Я.
(30.24)
Плавный характер изменения функции фы(у, Я?) позволяет оценить ее
значения в интервале (J?/(N-1), Я?!2) с помощью интерполяции.
В промежуточной области | е | ~ ехр (- Я1 IN) главный вклад в резонансную
прозрачность определяется конфигурациями, близкими (в меру малости
величины btfj/yj, где yj = tj+1-1}) к упорядоченному расположению центров
на равных расстояниях уу -• - %У = Я IN. В этом случае, как ясно из
предыдущего, резонансные условия определяются соотношениями
by jbXj ~ 1,
• 343
а резонансный фазовый объем таков, что
In ЛГ^ (е) ~ N, | в | ~ ехр (- S/N). (30.25)
Таким образом, из (30.22), (30.24) и (30.25) для ?DN{&) получаем
(r)лг(е) = ^Цу(е).
Пдг(в)~ exp(Na>N(u)), | в | = ехр (- SIN - и),
СОдг(м) *
, еХ ^ JflnA/
1П2ЛГ' и>-у~<
1 Gtt In N v \ 1 \т
~2~ ' - \nNf
~ 1, | U | 1,
- |и| + 1п(|и|е), и< 0,
Если энергетическая ширина бв ~ ехр (- 227N) функции S>N (в) много меньше
энергетической ширины Дв падающего пучка частиц, то^дг (в) можно заменить
эффективной б-функцией {г)=ЮмЬ (в), и тогда парциальная прозрачность
pN%bN (см. (30.17)) есть
pN@>N~exР [- N (I \nc\ + C)-^- - cS
(С<^|1пс|, но точности использованных оценок недостаточно для определения
ее численного значения).
При суммировании по N главный вклад в <М>&У
N
дают нити с экстремальной прозрачностью, для которых N=[Si(C +
\\nc\)]'/>, и поэтому прозрачность имеет порядок
<@>я> ~ ехр (-2 у '& (С +1 In с I) - с&), (30.26)
а эффективный коэффициент затухания у# равен In <jg) "> / | In
с I \ 7 s
--Чг(tm)2{Чг) +c <30*27)
(в упорядоченной системе без рассеивателей у$&2).
Если же число частиц на каждой нити фиксировано (N - N0), то прозрачность
и коэффициент затухания определяются формулами
<@>J?> = @>N* ~ ехр [- с0% (I In с01 + С) ~ 1 /с0], (30.28)
?55 = с0|1пс0Ц- 1/(c0J?),
где c0 = N "/Jg7.
В заключение этого пункта сделаем несколько замечаний.
П ш исследовании резонансного туннелирования не учитывались
взаимодействия между туннелирующими частицами, число которых в
окрестности центров рассеяния сравнительно велико. Поэтому полученные
результаты применимы лишь к случаю, когда средняя плотность частиц в
падающем потоке достаточно мала.
344
Аналогичным образом можно исследовать и дискретную задачу, описываемую
конечно-разностным (а не дифференциальным) уравнением. При этом несколько
изменятся условия сопряжения решений на границах барьера и закон
дисперсии элементарных возбуждений q(E), но эти обстоятельства не
являются существенными в изложенной методике.
Все исследование многократных резонансов основано на исходном
предположении об однородности потенциала барьера и одинаковости
рассеивающих центров. Нарушение этих условий сразу же приводит к
разбалансированию совместных резонансов. Поэтому в неоднородной системе
проявляется лишь один резонанс (на отдельном центре или оптимальном
кластере) и, следовательно, <S)^> ~с(?)ехр(-J?), где с(Е) - концентрация
таких кластеров для уровня Е.
Развитый выше подход позволяет исследовать резонансное туннелирование и в
трехмерном случае. Прозрачность определяется специфическими "резонансно-
перколяционными" траекториями, т. е. путями туннелирования, вдоль которых
отсутствует затухание. При этом эффективный коэффициент затухания уафф
несколько возрастает по сравнению с одномерным случаем (30,27), но по-
прежнему остается много меньше значения, соответствующего идеальному
барьеру без рассеивателей. Так, в частном случае с<5^1, 3?3!*с\\пс\<^\
оказывается, что
Подробные вычисления содержатся в работе [196].
Наличие неупругих каналов рассеяния также ослабляет резонансные эффекты.
30.3. Нерезонансный случай. Нерезонансное туннелирование осуществляется
тогда, когда энергия частицы достаточно удалена от спектра собственных
значений оператора, определяемого уравнением (30.1) на всей оси,
например, в случае х0 > 0. Но тогда в подбарьерной области значений
энергии матричный элемент Т1г не мал, и, следовательно, матричный элемент
Gu матрицы G экспоненциально велик по сравнению с остальными (по крайней
мере, больше в ехрс-1 раз, где концентрация c = (ql)~i, а /- среднее
расстояние между рассеивателями). Поэтому в этом случае выражение (30.12)
для прозрачности принимает вид
Мультипликативная структура выражения (30.8) для матрицы G показывает,
что элемент Gu экспоненциально зависит от толщины слоя J?. Следовательно,
таким же свойством должен обладать и средний коэффициент прохождения,
который согласно (30.17) и (30.18) равен
(r)"{Е,
(30.29)
(30.30)
34?
*
где
J? *N U
(r)N= (flSi) 2 \gN J J dttf_ I . , . J dtxGn (^i* ^2" • ' •" ^v)-
оо о
(30.31)
Подынтегральное выражение в этой формуле есть обратный квадрат
