Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда энергия частицы Е близка к какому-либо из собственных
значений, определяемых уравнением (30.13), всегда можно указать такие,
называемые в дальнейшем резонансными *), конфигурации примесей (?), для
которых рN(E, TrN(E)) ~ 1 и, следовательно, @)N(E, Г^(?))~¦ 1. В самом
деле, как видно из
(30.15), для этого необходимо, чтобы N координат примесей ^i> *n
удовлетворяли всего лишь двум соотношениям:
|Х(?, Г)|~1, \Y(Et Г)|~1, (30.16)
где
Х(Е, r) = Gn-G22, Y(E, r) = G12 + Gfi.
Эти условия при фиксированной энергии Е определяют резонансный фазовый
объем ДГ& (Е):
дги?)= S <г<1...Ллг,
о <h<...<tN<je
1*(?;*' 'лгЖ1 14*: 'дгЖ1
отношение которого к полному фазовому объему
ДГдг=^ j* dtx... dtN--jjy
о < <.. .< tN <
задает вероятность Р#{Е) реализации какой-либо из резонансных для энергии
Я конфигураций
Р*(?) = ДГИ?)/ДГ".
Из выражения (30.8) для матрицы G видно, что матричные элементы Gy с
изменением Е и Г* быстро осциллируют, меняясь на интервале значений
Поэтому усредненная по конфигу-
рациям с фиксированным числом примесей N прозрачность ё?>^{Е)
определяется только резонансными конфигурациями:
?Z>n(E) " J @>w(E, TN)dTN ~ РМ(Е). лг^ (?)
Средняя прозрачность <^)^>, таким образом, равна
<(r)*> = 2(30.17)
N
где
(cj^exp(- c&)fN\, с = (g/)"1 < 1, (30.18)
•) Для таких конфигураций значения волновой функции на границах барьера
приближенно равны, будучи в то же время в соответствии с общим фактом
локализации всех состояний в одномерных системах экспоненциально малыми
по сравнению с максимальной амплитудой, достигающейся где-то внутри
барьера.
338
есть вероятность того, что в системе с концентрацией с на участке длиной
собралось N примесей.
Отметим, что резонансные условия (30.16) (р ~ 1) в силу (30.11) означают,
что все матричные элементы G{J- (?, (Е)) есть вели-
чины порядка единицы. С одной стороны, это поясняет необходимость
близости значений энергии частицы к спектру уравнения (ЗОЛ) на всей оси
и, с другой стороны, подчеркивает, что эта близость есть лишь
необходимое, но недостаточное условие резонансного прохождения.
Дальнейшая часть этого пункта посвящена вычислению средней прозрачности в
случае х0 < 0, я0 я^ - 1, соответствующем ситуации, в которой энергия
налетающих частиц близка к определяемой условием Тг1 - 0 энергии
связанного состояния на одном рассеивающем центре в ассоциированной
спектральной задаче. Именно в этой области резонансные эффекты имеют
наибольшее значение. При этом мы начнем с рассмотрения простейших, но
очень важных для дальнейшего конкретных случаев одной (N=1) и двух (N =
2) примесей.
а) Случай iV= 1 соответствует одному центру, расположенному в точке
tx. Если ввести новый энергетический параметр е- 1 +х0, то матрицы Т и G
в главном приближении по s принимают вид
T==(i г)- G = ("
где tlt ~S? <, 2. Согласно (30.14) имеем
й>!(е, т) " (1 +sh2T-f 74?2)-1. ? = еехр^,
и поэтому
я
@>i (е) = J @>i (е, т) dr = ~ (е),
-JS
р. , . 21n(l+e2exp2J?)
й'<е> =-("ТхГуК'" •
Отсюда видно, что резонансными в этом случае являются конфигурации, когда
единственный рассеивающий центр расположен почти посередине барьера [ т |
~ 1, а энергетическая ширина прозрачности имеет порядок 6е~ехр(-J?). Если
при этом естественная энергетическая ширина падающего на барьер пучка
велика: Ае 6е, то прозрачность (е) можно заменить эффективной 6-функцией
с нормировочным коэффициентом *):
S>y (8) "0,6(8), В, - 4я (30.19)
*) Это выражение следует рассматривать как символическое, ибо
прозрачность не превосходит единицы при любой энергии, однако именно
коэффициент /)?опредедяет отношение пр-адых потоков ца выходе и входе,
339
б) Рассматривая случай N = 2, когда имеются два центра в точках tx,
^2(>^), удобно ввести величины y=t<2 - t1 и ? = = (3 -t2) - tx. Первая из
них есть безразмерное расстояние между центрами, а вторая описывает
асимметрию расположения примесей. Вычисляя пропагатор G, находим
X (8, Г2) - (82 - е~2У) ехр jgp - (4 - е2у) ехр (- 3),
Y (е, Г2) = 2 sh I (геу -f 2е~у),
где Г2 == {у, 0< у<3, |?| <3 - у. Отсюда видно, что кон-
фигурация с у > 1/2=? не может быть резонансной. Конфигурация с У < г!^3
является резонансной для значений энергии из интервалов шириной бе ~ ехр
(- 3 + у) с центрами в точках е0 = = ±ехр(-у) при условии |?|~ 1.
Наконец, конфигурации, для которых ехр (2у - 3)^\, являются резонансными
для всех значений энергии, удовлетворяющих условиям | ? | ^| In (в ехр
(=272)) J, | е | < ехр (- =272). Для резонансной прозрачности получаем
@>2 (в)~ -§2^2 (е),
где
Й2 (в)~ДГ5(в) =
' г/*3, 161 < ехР (- 3),
| In (в ехр (J272))|,
ехр (- 3) < 181 < ехр (- 312), 1, | е | ~ ехр (- 3/2),
¦ ч ехр(-^)/в*, |?|>ехр(-^/2).
Энергетическая ширина бв функции Q2 (е) имеет порядок ехр(-312), и при
тех же условиях, что и в предыдущем случае (см. (30.19)), прозрачность
3>г (е) может быть заменена эффективной б-функцией:
Уже случай N ~ 2 позволяет в зависимости от величины энергии е четко
разделить резонансные конфигурации на два типа. В области | е J > ехр (-
