Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 135

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 145 >> Следующая

уже шла на стр. 327). В данном случае такая ситуация возникает потому,
что хотя>?(х) и не может обращаться в нуль ни при каком х, зна-
334
чение этой функции в отдельных точках может быть очень мало. Это
показывает роль слагаемого 2 в знаменателе оценки (29.7). Именно его
присутствие исключает влияние малых значений в результате чего среднее
значение величины оказывается экспоненциально убывающим, хотя и с меньшей
скоростью, чем у нее самой (-2у(&2)).
§ 30. Туннельная прозрачность неупорядоченных систем
30.1. Общие соотношения. В этом параграфе мы рассмотрим подбарьерное
прохождение частицы с энергией Е через прямоугольный потенциальный барьер
высоты U0 с вкрапленными в него случайно расположенными рассеивающими
центрами (примесями). В случае короткодействующих (точечных) примесей,
расположенных в точках Ху (j- 1, 2, ..., N), потенциал U (х) в уравнении
Шредингера (29.1) равен
Подбарьерному случаю отвечает неравенство q2 = U0 - kz > 0, где k2 - E.
Переходя к новым переменным t = qx, J? = qL> к - klq, K0=^kj2q, получаем
уравнение вида
Граничные условия, соответствующие постановке задачи о прохождении частиц
(см. (29.2)), получаются из требований непрерывности волновой функции и
ее производной на границах барьера и имеют вид
даН*. Ф(0)+^ = 2. (30.2)
Прозрачность барьера (коэффициент прохождения) есть
и зависит от энергии Е падающей частицы, от числа N и конфигурации г*=
{ty\ примесей.
Как и в других одномерных задачах (см. гл. II, III), здесь удобно
использовать матричный формализм для описания динамики системы, введя
двумерный вектор (ср. с п. 9.1)
компоненты которого связаны с волновой функцией ф(^) соотношениями
U (x) = U0+k0'2lb(x-xJ), 0 <х,х/<'Ь.
- ф" + U (t) ф = - ф,
V (t)^2y.^b(t-tj), 0 <t<S.
(30.1)
(r)Л,(?,ГЛГ) = 11<гр = [ф(^)р
(30.3)
1|) (<) = !)>+ (0+1|>- (О. •Ф' (0=-ф+ (0.
' о <t<3.
(30.4)
335
и - удовлетворяют на пустых (не содержащих рассеивателей) интервалах,
попадающих внутрь барьера, уравнениям
я|4 (0 =- ± Tj?± (t). (30.5)
В новых терминах (ЗОЛ) граничные условия (30.2) приобретают вид
ф_(^)(х - 0 + Ф+ (cS Hx + 0^0. • по М
(0) (х + 1) + 1|>+ (0) (к - г) - 2х.
Исходя из уравнения (ЗОЛ), нетрудно построить матрицу G (см. § 9),
распространяющую решение через область 0 < t < jg7 от правой до левой
границы барьера:
ф(0) = Сф(^), (30.7)
g~g° (д tg° (t2 - д т... tg° (tN~ д_о tg° - tN). (зо.8)
Здесь матрица
G"W = (o °-') (30-9>
описывает распространение на "пустых" участках внутри барьера, а матрица
1 -j- х0 х0
-X 1-х у (30Л°)
я0 1 Д-о}
связывает значения вектора Ф слева и справа от рассеивателя:
Ч^-онтчк^+о).
Матрица G является унимодулярной:
det G = 1,
и вещественной (это видно из формул (30.8)- (30.10)), поэтому
она может быть полностью определена заданием трех веществен-
ных параметров р, %, щ меняющихся в интервалах 0<р<оо, 0 < Ъ Л < 2jx-
Тогда
<2п = у 1 4- р2 cos ц + р sin х,
6ia= - /1 +p2sinii + pcosx, (ЗОИ)
G2i = Vl + Р2 sin Л + Р cos X.
G22 - К1 + Р2 cos т] -р sin X-
Используя соотношения (30.4), (30.6), (30.7), для прозрачности (30.3)
получаем формулу
3>Я(Е, rA,) = |(f, Gg)|-2, (30.12)
а скалярное произведение определено следующим образом:
Представление прозрачности в виде (30.12) обладает одним важным
достоинством. В нем вся зависимость от граничных условий (30.6) заключена
в векторах f и g, в то время как зависимость от конфигурации примесей
полностью учтена матрицей G. Последнее обстоятельство весьма существенно,
поскольку матрица G тесно связана со спектральными свойствами
ассоциированной задачи, определяемой уравнением (30.1), рассматриваемым
на всей оси с естественными граничными условиями (при этом, однако, все
рассеиватели находятся внутри "бывшего" слоя: 0 < tj < jg57). Такие
условия требуют выполнения
соотношений
Последнее уравнение в случае х0 < 0 описывает спектр связанных состояний
в одномерной бесконечной системе с N примесями, расположенными в области
0 < t < J27, и поэтому совпадает с одномерным вариантом подробно
исследованного в предыдущей главе уравнения (27.13).
Как и в § 29, мы будем вычислять и исследовать среднюю прозрачность.
Оказывается, что величина <.@)%У и методы ее получения существенно
зависят от того, насколько близка энергия налетающих частиц Е к
определяемому условием (30.13) спектру уравнения (30.1) на всей оси.
Соответствующие случаи - резонансный и нерезонансный -рассмотрены в двух
последующих пунктах этого параграфа.
30.2. Резонансное туннелирование. Будем исходить из выражения (30.12) для
прозрачности, которое с учетом параметризации (30.11) можно записать в
виде
Отсюда следует, что в области значений энергии таких, что х ~ 1,
справедлива оценка
причем параметр р2 связан с матричными элементами матрицы G
Ф+(0 = 0, t>S, яЫО-о, *<0,
которые, в свою очередь, означают, что
Gu(?)=*0.
(30.13)
- (l+P2) COS2 Т] -f-
X2- 1 р
sin%
У 1+р2
IV) ~ (1+рh(E, rN)r\
(30.14)
337
соотношением
4р2 - (Gu - <?аа)2 + (Glt + С?21)а. (30.15)
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed