Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
D/8&2 = г/9у (№). Действительно, согласно (29.5) в каждой реализации
случайной функции v (х) ?DL - | tL |2 стремится к нулю при L ->- оо (как
e~zyL). Отсюда, учитывая, что | rL |2 - = 1-i^|2, \r\^e~w, видим, что при
х -оо плотность вероятностей Р (х, w) сосредотачивается в окрестности
точки W - 0. В этой области в уравнении (29.20) sh2ay можно заменить на
Замена переменных w = 2e~T/, Р - e~vQt х - IJ приводит это уравнение к
виду
т. е. к уравнению теплопроводности с постоянным сносом, решение которого
таково:
Таким образом, при больших L имеет экспоненциальное убывание с
декрементом y/2=D/8&2, которое несколько усиливается пред-
экспоненциальным множителем, пропорциональным L-1/2. Но, в отличие от
показателя экспоненты, вид этого множителя существенно зависит от
поведения Р (х, w) и при не малых wy которое недостаточно учитывается
описанным способом приближенного нахождения решения уравнения (29.20).
Оказывается однако, что задача (29.20) -(29.21) может быть решена в
квадратурах [87, 88]. Один из способов сделать это состоит в введении
переменных у и У (t, у), связанных с w и P(t, w) соотношениями
dQ _ dQ . d2Q
dt dv dv2 '
Q (t, v) = (Ы)-Ч* exp[-(u + f)*/4f]. Отсюда и из (29.24) найдем, что при
L->~ оо
<S>t> = 4]dvQ(±, о)"4 l/Jb.cxp(-?J. (29.25)
о
cthrn" -chi/, P (t, w) sh2 w = Y (ty у). (29.26)
В результате этого приходим к уравнению
решение которого имеет вид
(29.28)
332
Эту формулу можно получить, переходя от функции Y (t, у) к ее
преобразованию Меллера [89, 90], т. е. к функции
где P-t/s+iy (chу) - функция Лежандра комплексного аргумента (у
вещественно), которая является как раз собственной функцией правой части
уравнения (29.20) с собственным значением -1U~y2 [88]. Из этого факта
после применения обратного преобразования Меллера
и использования подходящего [90, 91] интегрального представления для P-
ij2+{y (ch у) и следует (29.28). Другой способ получения (29.28) указан в
[91].
Как было объяснено в начале этой главы, полное решение задачи о
коэффициенте прохождения частицы через слой неупорядоченной среды состоит
в нахождении распределения вероятностей этой величины. Формула (29.28), в
силу соотношений
(29.23) и (29.26), дает решение этой задачи в квазиклассической
надбарьерной области 1.
Из (29.24), (29.26) и (28.28) находим, что
откуда при L -> оо получается следующая асимптотическая формула (ср. с
(13.46) и (13.67)):
Видно, что эта точная асимптотика среднего коэффициента прохождения при
больших длинах случайного барьера отличается от полученного простым
способом выражения (29.25) только более быстро убывающим
предэкспоненциальным множителем, а показатели экспоненты в обоих случаях
совпадают.
Формула (29.31) может быть получена и без знания точного решения (29.28)
уравнения (29.20). Это можно сделать, если,
произведя в этом уравнении замену z =- lnth-y,
привести его к виду
q(t, у)= J shy*P_4l+iy(chy)Y (t, y)dy,
о
Y (*. ythny P-t/2+iv (chу) q(t, y)dy (29.29)
о
(29.30)
<@>L> " V2Jie/* {IjLy^exp (-L/4/д).
(29.31)
dQ дЮ
и применить далее процедуру, аналогичную той, которая была использована
для получения асимптотики (13.46) коррелятора плотность-плотность при
совпадающих энергиях.
Отметим теперь, что после замены в уравнении (29.20) величины D
выражением
D(k)~ ~ J Bv(x)cos2kxdx, (29.32)
где Bv(x) = <v (0)v(x)>, формула (29.30) для среднего значения
коэффициента прохождения остается справедливой и при более высоких
энергиях, всюду, где справедлива формула (10.14) для y(k2). В самом деле,
если применить к системе уравнений (29.19) процедуру, описанную в [58,
59, 103], то получится опять уравнение (29.20), в котором вместо D будет
стоять как раз D(k) из (29.32). Значит, и формулы (29.29) и (29.30) также
остаются справедливыми после такой замены. В частности, вместо
соотношения (29.16) получим следующее:
- lim = ^ = =
?_Г" L 8k 4/л(?) 2
(см. по этому поводу также [92]). Для стохастической модели Кронига -
Пенни из п. 6.4, для которой
(flo-Hi) I*
aoai
отсюда следует, что
= о2 ехр
\Х\\
Гс J '
-Л"г1п<^>=]^тsg-
Эта формула иным методом была получена в [93].
В заключение заметим следующее. Если ввести величину, аналогичную т] (х)
(12.29), которая будет связана с ZL (2) из (29.10) посредством формул,
подобных (12.31), (12.32), выражающих функцию (12.24) при 8-1 через г)
(х), то из сравнения этих формул с (10.156) вытекает, что ZL (2) =* <r"2
(L)>. Далее, рассуждая так же как при доказательстве (12.36), можно
убедиться, что и величина ZL(2) обладает аналогичным свойством, т. е. что
среднее <r-2(L)> при ?-> оо имеет конечный предел. С другой стороны,
согласно результатам §§ 9, 10 с вероятностью 1 lim Ь~г In r-2(L) =
ОО
= - 2у(&2)<0. Таким образом, мы получили еще один содержательный пример
случайной функции, среднее значение которой стремится к конечному пределу
с ростом аргумента, в то время как сама она в каждой реализации
экспоненциально убывает с неслучайным декрементом (об этом явлении речь
