Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
4 [ехр (- L8 (е)) -|- ехр (-2L (у - е))] <
^4ехр{-L min [6(e), 2 (у - в)]}. (29.14)
Это неравенство и показывает, что для рассматриваемых случайных
потенциалов средний коэффициент прохождения экспоненциально убывает с
ростом L.
Чтобы получить представление о величине скорости этого убывания,
рассмотрим случай больших k2 (коротких волн). Он в этой задаче особенно
интересен, поскольку именно здесь проявляется существенное отличие
упорядоченного случая от неупорядоченного-в первом случае прохождение
волны через толстый (полу-бесконечный) слой среды возможно (см. (29.4)),
а во втором нет. Р этой области энергий у (k2) мало и может быть
вычислено с помощью асимптотической формулы (10.14). В силу малости у и
условия 0 < е < у, е тоже мало. Поэтому минимум в (29.14) должен
достигаться при малом значении р. Тогда /ф) достаточно хорошо описывается
выражением
f (0) ¦+Г (0) + ? /" (0) = vP + f f" (0), (29.15)
^2 и. М. Лифшиц и др.
329
причем согласно (29.13)
L
/'(0)= lim I"1 \[<F(x)><F(x')>-<F(x)F(x')>]dxdx',
L~+"> 0
где F (лг) = l/2v (jc) k~1 sin 2ф (л:).
Величину /" (0), так же как в § 10 у (&а), вычислим с помощью теории
возмущений по потенциалу. Оказывается, что в первом неисчезающем
приближении /" (0) = у (kа), а тогда б (е) - еа/2у (нетрудно убедиться,
что в случае / (р) вида (29.15) б (е) - -e2/2f" (0)). Наилучшая оценка
справа в (29.14) будет получаться при е, выбираемом из условия 2 (у - е)
- б (е) или 2 (у - е) = еа/2у, откуда е = 0,82у, а (29.14) при L-+ оо
приобретает вид
<.S>Ly ^ехр (-0,36yL). (29.16)
Как мы увидим ниже, асимптотика In <&>L> при L -> оо в этой области
энергий такова:
L-Ч п<^>"-7ау(^).
Отметим, что сходным методом можно доказать подобную (29.16) оценку не
только для марковского потенциала, но и в случае сингулярных потенциалов
типа гауссовского белого шума, потенциала (6.66) и т. п. Кроме того, этот
метод может быть применен и в дискретных задачах, т. е. при изучении
процесса прохождения волн через одномерные неупорядоченные решетки
(относительно последнего случая см. также [86]).
29.3. Асимптотика среднего коэффициента прохождения в области достаточно
высоких энергий. Использованные в предыдущем пункте рассуждения дают
только оценку скорости убывания среднего коэффициента прохождения с
ростом толщины слоя. Однако если ограничиться областью достаточно больших
энергий, то можно, как и в случае показателя у (Е) экспоненциального
роста огибающей волновой функции, найти .асимптотические формулы для lim
L"1 In <^х>. Чтобы это сделать, получим прежде всего "ди-
L -> 00
намическое уравнение", которому подчиняется коэффициент отражения rL в
(29.2). Для этого;удобно считать, что интервал, на котором ц(д:)^=0,
расположен между точками хг и х2, xx<ix2. Обозначив соответствующую
величину через г (лу, х2) (rL из (29.2) есть г (0, L)), найдем,
аналогично (29.6), что
г (*lf х2) = (ik - ? (xOWk Ц- ? (*!", (29.17)
где ?(*) = Ф'(*)Ж*) и - ?а -&2 + v(x)t ?(*2)=*i?. Отсюда вытекает, что
r(xltx2), как и ?(х), удовлетворяет уравнению типа Риккати по переменной
хг\
JL=2ikr-gj;(\ + r)\ г(х"х,) = 0. (29.18)
330
Вместо комплексной величины г удобно ввести по формуле г - ехр (-ш + /6)
действительные переменные w и б, удовлетворяющие, как следует из (29.18),
системе уравнений
8' = - 2k+^ (1 -f cos б • ch w), (29.19а)
w'=*-j- sin б * sh w. (29.196)
Так как | ^ |* +1 г? |* - 1, то | rL \ ^ 1, а потому w
^ 0. Что же
касается фазы б, то она изменяется в пределах от 0 до
я.
Рассмотрим область энергий, составляющих окрестность среднего значения
потенциала, где, согласно результатам п. 6.3 и §§ 10, 11, практически
любая случайная функция может быть заменена гауссовским белым шумом с
коррелятором <t>(0) v (х)> = = 2D6(x). Если при этом, так же как в §§ 10,
11, считать, что D2/" <^&2, то фаза б (ж) будет "быстрой" переменной в
динамической системе, определяемой уравнениями (29.19) в такой ситуации.
Поэтому, используя процедуру, развитую в §§ 10, И, найдем,
• что плотность вероятностей Р (х, w) случайной величины w (х)
удовлетворяет уравнению
<29-20>
и условиям
оо
5 Р (X, w)dw=: 1, о 00
lim \ Р (х, w)dw=! 1,
х~*'0 w0
которые в соответствии с (29.18) означают, что при х-"-0 плотность
вероятностей Р (х, ку) стремится к 5-функции, сосредоточенной на
бесконечности.
Средний коэффициент прохождения
<i2>?> - 1 - <| /* (0, L) |2>
в силу вытекающего из определения w соотношения
1 - e~*wf
очевидно, равен
оо
J (1 -e~2w) Р (L, w)dw. о
В записи этого соотношения мы учли свойства однородности и изотропии в
среднем случайного потенциала п(х), в силу которых при вычислении <.?DL>
можно поменять местами xt и х2, т. е. ставить "начальные" условия для
уравнения (29.18) при х- 0, а находить функцию Р (х, w) при x = L.
(29.22)
(29.23)
(29.24)
х > 0; щ > О,
(29.21)
12*
331
Величина <^L>, вычисленная с помощью функции Р (х, w), удовлетворяющей
(29.20) и (29.21), при L -> оо экспоненциально убывает с декрементом
