Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
волны b(k) связана с фазой ср(я) решения ф(;с) (г лр'/гр = ^ ctg ф)
соотношением ctg 6 = ctg 2ср. В тех случаях, когда ц(х) является конечно-
марковской функцией, плотность вероятностей случайной величины <р (х)
может быть найдена путем решения соответствующего стационарного уравнения
Фоккера - Планка. В п. 6.4 это было сделано для стохастической модели
Кронига - Пенни и для получаемых из нее различных предельных случаев.
Отмеченный факт вместе с (29.5) свидетельствует о том, что
распространение волн в случайно-неоднородных средах, по крайней мере в
одномерном случае, носит совсем другой характер, чем в однородных, где,
как показывает пример выражения (29.4), &>L при L-+ оо может вовсе не
стремиться к нулю, будучи ограничен снизу положительным числом.
326
29,2, Экспоненциальное убывание среднего коэффициента прохождения.
Зависимость среднего коэффициента прохождения от толщины слоя нельзя,
вообще говоря, извлечь, основываясь только на соотношении (29.5),
поскольку выход на предельное значение величины L~l In может происходить
на разных реализациях с разной скоростью, и в результате <М>С> может
убывать g ростом L гораздо медленнее, чем &>Lt или даже вообще не
убывать. То, что такая ситуация возможна для случайных функций,
показывает следующий простой пример. Он, грубо говоря, соответствует
приближенной процедуре вычисления @)L, в которой пренебрегают отраженной
волной и заменяют уравнение второго порядка (29.1) уравнениями первого
порядка. Пусть W (х) - однородная гауссовская случайная функция,
обладающая свойством ослабления корреляций, <U7 (а:)> > О, <W (х) W (*')>
= Bw(x-х'). Положим
Тогда, согласно эргодической теореме (см. § 2), о вероятностью единица
имеем
и в зависимости от соотношения между первым и вторым членами справа, т.
е. в зависимости от соотношения между величиной среднего значения W {х) и
величиной ее флуктуации, &>L может как возрастать, так и убывать. Однако,
как мы сейчас покажем, в случае марковской случайной функции v(x) среднее
значение коэффициента прохождения S>L все же экспоненциально убывает с
ростом L [83].
Действительно, согласно (29.3)
где Pt(?)- плотность вероятностей случайной величины
Разобьем интеграл в (29.7) на два, по областям (-оо, у - е), (у-в, оо),
где е > 0, и пока произвольно. Это разбиение
lim L~l ln &>L =-<№>.
В то же время согласно (2.6)
lim L"4n<^)i> = - <№>4- J Bw(x)dxt
L-*" n
О
(29,7)
(29.8)
327
проводит к оценке
у-е
<(c)*><2 J Pl(|)dE + 4exp[-2X.(v-e)]. (29.9)
"•
Так как |? при L-*ao & вероятностью 1 стремится к у(?а), то при не очень
близких к нулю значениях е первое слагаемое, равное вероятности
неравенства -е, должно быть малым.
Если окажется, что при некотором е < у эта малость будет
экспоненциальной, то и вся правая часть (29.9) будет такой при L-+ со.
Таким образом, нужно показать, что строго отрицателен предел
lim L'~l\npL(y-е),
L -> ей
где
У-8
Pi( у-е)= J Р? (!) dE =* Рг {!? < у -е}.
"• •"
Чтобы это сделать, рассмотрим величину
2?(Р)=~<ехр(-РД?)>, >0. (29.10)
Имеем следующую цепочку неравенств!
"о
2?Ф)= J Р, (|) ехр (- РД) >
я W
у-е
^ J Pl (?) ехр (- РД) > pt (у - е) ехр f - 0L (у - е)],
"в
откуда
Pi (У - е)<4 min 2? (р) ехр[(у -е)|ЗЛ]. (29.11)
ь
Можно показать, что при L-+ оо величина %L (р) ведет себя как ехр(-Lf
ф)}, где /(р)-гладкая функция р, 0 < < 2. Поясним, почему такое поведение
следует ожидать. Согласно (10.156),
(29.8) и (29.10) имеем
(Р> = (ехР j - щ J v sin 2ф (х) dx
\ и
Если случайная функция v{x) марковская и ее корреляции достаточно быстро
убывают, то этими же свойствами обладает* и пара (ф {xj, v (х)), а тогда
в показателе экспоненты стоит аналог суммы слабо скоррелированных
случайных величин. Это делает SL (Р) сходной со статистической суммой
одномерной системы частиц с достаточно быстро убывающим взаимодействием.
Но, как известно [84 , 85J, такая система характеризуется свободной
энергией на единицу объема (длины) и не имеет фазовых переходов. Это и
•>
328
означает, что должен существовать предел
/<Р) = - lim L-Мп^ф), (29.12)
L -> 00
являющийся гладкой функцией р (этот параметр аналогичен обратной
температуре). Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что
_ ^ L-1 In %L ф) = - L <(i? - <Ц"2> < 0, (29.13)
где угловые скобки обозначают усреднение с весом %z1 (р) ехр (-рLIl).
(Это неравенство аналогично неравенствам термодинамической устойчивости в
статистической физике [84 , 85].) Кроме того, имеем
L
/ (0) = О, Г (0) = ^lim i J v-^ sin 2ф (л:) dx = V (*') > 0,
f( 2°) = 0.
Таким образом, /ф) является гладкой, вогнутой (/"(P)<0) функцией, не
равной тождественно нулю,-последнее весьма важное обстоятельство вытекает
как раз из того, что у (k2) строго положительно. Из этих свойств функции
f (Р) следует, что логарифм правой части неравенства (29.11), равный при
L -оо
L min {Р (у - е) - / (Р)[,
Э
есть строго отрицательная величина, которую мы обозначим -L6(e).
Возвращаясь к (29.9), можем написать теперь, что
