Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 131

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 145 >> Следующая

и требованием, чтобы слева и справа от слоя волновая функция имела вид
{ e''kx + rLe-ik*t х<0,
¦ (*)-{ *>0, = (29.2)
Коэффициент прохождения определяется известным соотношением [не]
(r)?=KI-.
Мы будем предполагать, что среднее значение U случайного потенциала равно
нулю*), и потому исходное уравнение может быть записано в виде
- яр"-J-у (л:) яр - 0 <x<L, <о(х)>=^0.
Требуя непрерывности логарифмической производной волновой функции в
точках 0 и L, найдем, что
(RI(L) + Rt (L)+2)-1, (29.3)
*) Предположение используется только в последних двух пунктах параграфа.
324
рде R*c (х)" с2 (х) 4- /e"V3 (х), R* (х) ** sa (х) № -f- s'* (х), a s(x)
(с(х)) - решения уравнения (29.1), удовлетворяющие условиям s(0) = 0, в#
(0) =я I (с (0) "¦ 1, в* (0) *= 0). Например, если потенциал v (я)
постоянен в слое 0^.x^L, то при q2 =" k% - v > 0 с {х) = cos qx% s (x) =
q"l sin qx и поэтому
(r)i=() +w?sW<iLyv- <29-4>
Пусть теперь слой представляет собой некоторую случайнонеоднородную
среду, так что v(x) является случайной функцией координаты. Будем
рассматривать такие случайные функции, которые приводят к экспоненциально
растущим с вероятностью 1 решениям уравнения (29.1) с фиксированной в
нуле логарифмической производной. Как было показано в § 10, это имеет
место тогда, когда потенциал v(x) может быть представлен как компонента
однородного и изотропного марковского процесса, удовлетворяющего условию
ослабления корреляций. Все эти свойства случайного показателя
преломления, кроме конечной марковости, вытекают из общих физических
требований и обычно предполагаются выполненными при рассмотрении таких
задач (см., например, [79, 80]). Что же касается свойства конечной
марковости iM*), то оно, как было указано в § 10, означает, что длина
волны k~l не слишком мала по сравнению с характерными расстояниями, на
которых меняется v(x).
Согласно свойству экспоненциального роста, обе функции Re(x) и Rt(x) с
вероятностью 1 растут как evik*)xt и потому
lim L~4n@)L =-2y{k2). (29.5)
l ОС
Это значит, что коэффициент прохождения волны через слой случайно-
неоднородной среды в каждой ее реализации стремится к нулю как е-2'* с
ростом толщины слоя L. Замечательно, что этот факт имеет место и в том
случае, когда энергия падающей волны № выше, чем высота барьеров,
поскольку, как мы видели для стохастической модели Кронига - Пенни из §
10, у(&а)>0 и при № > (70. В задачах о прохождении волн такой вид U {х)
соответствует неоднородной среде, представляющей собой "пачку"
плоскопараллельных слоев, коэффициент преломления которых принимает
поочередно одно из двух возможных значений, а толщина ц изменяется
случайным образом в соответствии с некоторой функцией распределения
fs(y), s = 0,1 (в §§ 6, 8, 10 /,= = aflexp(- уа;1)),
В частности, если случайно-неоднородная среда полубеско-нечна, то с
вероятностью 1 падающая волна полностью отразится от нее, так что
амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей. Однако это явление
сопровождается следующими двумя особенностями. Во-первых, хотя все
решения, в соответствии с тем, что rL~+ 1 при L-+oo, практически равны
нулю в среде
325
достаточно далеко от ее поверхности, наряду с решениями, у которых
максимум огибающей находится на поверхности среды и имеет ту же
амплитуду, что и амплитуда возбуждающей (падающей) волны, существуют }81]
и такие решения, амплитуда которых на сравнительно небольшом расстоянии
от поверхности весьма велика - во много раз превосходит амплитуду
падающей волны. Этот "стохастический резонанс" достаточно хорошо
локализован в прост-1 ранстве и может, в отличие от обычного резонанса,
произойти при любой энергии (частоте) возбуждающей волны. Более точная
формулировка вышесказанного утверждения такова: имеется ненулевая
вероятность того, что где-то внутри среды амплитуда решения JiM*)|
превзойдет любое заданное значение: для любого А> О
lim Рг( !%(*)! > А) >0.
Во-вторых, и отраженная от пол у бесконечной случайно-неоднородной среды
волна не остается неизменной [82], поскольку при таком полном отражении
ее фаза претерпевает случайный сдвиг. Этот сдвиг может быть найден
следующим образом. Введем функцию ?(х) = ф' {x)/ty(x). Из (29.2) следует,
что l(L) - lk и
r^dk-iiOMik + tm. (29.6)
Поскольку |г?|* при L-> оо стремится г 1 в каждой реализации случайной
среды, то ?(0) согласно (29.6) при L-+ оо становится вещественной. Так
как, кроме того, ?' = - ?2 - k* -f v (я), то ясно, что при L -*• оо
распределение вероятностей комплексной величины ?(0) будет совпадать с
распределением вероятностей Р (г) вещественной величины г -
логарифмической производной вещественного решения уравнения (29.1). Эта
величина и ее плотность вероятностей неоднократно встречались выше при
рассмотрении как плотности состояний, так и показателя экспоненциального
роста в гл. II и III. Поэтому, суммируя изложенное, можем написать, что в
пределе L -* оо коэффициент отражения есть e~ibik\ где фаза отраженной
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed