Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
задачу о прохождении отрезка длины L, содержащего NL точечных
отталкивающих рассеивателей. Коэффициент прохождения, отвечающий одной
примеси, равен
(r) = ( l+Jfe*/4fe9)"i, k2 = E.
Поэтому в простейшем возможном приближении, когда акты рассеяния на
каждой примеси предполагаются независимыми, прозрачность, совпадающая в
одномерном случае с коэффициентом ' прохождения @)L, будет равна
Так как вероятность того, что NL = N, в одномерном случае следует брать в
виде
,-lT.r (niL)" а N\ '
где nt - одномерная плотность рассеивателей, то при L -оо для
подавляющего количества конфигураций примесных точек NL-y<x>. Но это
означает, что для почти всех конфигураций примесей H)L экспоненциально
быстро стремится к нулю при L-+oo, причем соответствующий декремент
является неслучайной величиной:
- lim L~x ln ?Dl =r --/Xi In
L -v OO
Далее, так как <*2)z> = exp[-n1L{ 1 - *?>)], то - lim L-1 In = пг (1 -
FD).
L <4
320
Несовпадение правых частей этих двух асимптотических формул и есть
результат несамоусредняющегося характера ё?)ь. Нетрудно убедиться, что
относительное среднеквадратичное отклонение величины <zbNL равно
б =г {ехр \пгЬ (1 - <%))] - 1 }1/г.
Экспериментальная ситуация одномерного прохождения может быть реализована
тогда, когда образец толщиной L и площадью поперечного сечения S набран
из тонких нитей (проволочек, световодов). Такая ситуация возможна также в
квазиодномерном случае за счет большой анизотропии эффективной массы.
Наблюдаемой величиной в этих случаях является средний поток выходящих
частиц, отнесенный к единице площади, равный
где сумма распространена на все нити. Относительное среднеквадратичное
отклонение этой величины равно
N-'1*6,
где N-число нитей в образце. Малость этого параметра и есть условие
экспериментальной реализации среднего значения <^Л>. Мы видим, что для
этого нужно, чтобы число нитей, а, значит, и площадь поперечного сечения
образца были экспоненциально велики по сравнению с его толщиной. Что же
касается картины волнового поля на выходе из такого квазиодномерного
слоя, то она должна представлять собой в основном темный фон с весьма
редкими и яркими вспышками в тех местах, где расположены нити с
репрезентативным, но не типичным числом рассеивателей (последнее есть
<iVL> - rtjL).
Другими примерами величин подобного типа являются проводимость на
постоянном токе cdc и поток тепла JL в одномерном случае. Среднее
значение adc согласно (13.67) также экспоненциально убывает с ростом L, а
среднее значение JL при больших L, как показано в [214], пропорционально
Z,-1/*.
Замечательно, что обе эти величины оказываются связанными с
прозрачностью. Так, полная статическая проводимость одномерного образца
длины L (т. е. полное обратное сопротивление) при нулевой температуре и
энергии Ферми Е, как следует из сравнения формул (13.67) и (29.31) (см.
также [215]), просто пропорциональна <M>i (?)>, а поток тепла равен
интегралу от <?DL(E)y по интервалу энергий (0, ?0), где Е0~а"2 и а-
минимальное расстояние между примесями [67].
Опишем теперь кратко общую картину прохождения частиц через случайно
неоднородный слой.
Если энергия падающего пучка Е гораздо меньше, чем высота барьера, так
что выполняются неравенства q^>l~x, rj"1, где
q2-U0-Е, I-среднее расстояние между примесями, а г0-их
321
радиус, то процесс прохождения имеет в существенном одномерный характер,
так как из-за сильного затухания в подбарьерной области траектории частиц
будут практически лежать внутри цилиндров радиуса q_1. Здесь множества
типичных и репрезентативных конфигураций не совпадают, прозрачность не
является достоверной величиной и экспоненциально убывает с толщиной слоя.
При этом, если энергия частиц лежит ниже, чем энергии связанных состояний
всевозможных примесных кластеров, т. е, меньше, чем истинная граница
спектра бесконечной неупорядоченной системы с тем же случайным
потенциалом и барьером. U0, то имеет место нерезонансное прохождение. В
этом случае амплитуды подбарьерного рассеяния как на отдельном центре,
так и на всех кластерах не превосходят единицы, и при малых концентрациях
оказывается возможным получение декремента затухания средней прозрачности
в виде ряда по степеням п (§ 30). Такой ряд оказывается во многом
аналогичным вириальному разложению в статистической физике. Как и в этом
последнем, его нулевой член отвечает отсутствию частиц, первый
определяется независимыми их вкладами, т. е. независимым рассеянием на
отдельных примесях, а последующие отвечают независимым кластерам из двух,
трех и т. д. частиц.
Если же энергия падающей частицы лежит выше, чем истинная граница спектра
соответствующей бесконечной системы, то может осуществляться резонансное
туннелирование. В этом случае при каждой энергии существуют маловероятные
конфигурации, на которых прозрачность близка к единице. Однако именно они
являются репрезентативными, так как на типичных конфигурациях
прозрачность чрезвычайно мала, а потому вероятность резонансных
