Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
примесной зоне: в одних случаях эта зона вообще не возникает [164], в
других-отделена щелью от основной зоны в ситуации, когда этого не следует
ожидать (см. § 28). Кроме того, как правило, во всех таких методах
оказывается, что плотность состояний в окрестности получаемых
265
краев зон ведет себя как V | Е - Егр |, где Егр - положение
соответствующего края. В действительности флуктуации, которыми в этих
методах пренебрегают, приводят к сдвигу и размытию этих краев. Так, уже
учет эффектов порядка с(r), за которые ответственны группы из двух
примесных атомов, дает такое размытие (см. § 28). Если же принять во
внимание группы из большего числа атомов, которые хоть и маловероятны, но
должны учитываться в областях энергий, близких к истинным границам, то
вид плотности состояний в этих областях окажется совсем иным (см. §§7,
15, 16, 18). Все это свидетельствует о необходимости уточнения
одноузельных аппроксимаций, которые в лучшем случае лишь в интегральном
смысле правильно ^ают форму плох"-ности состоянии^ 'Формализм одного из
таких уточнений мы сей-"ЧЗс и изложил!. Конкретные расчеты плотности
состояний в рамках этой схемы содержатся в гл. VI.
24.1. Ренормированная теория возмущений. Заметим прежде всего, что
диагональные элементы функции Грина оператора
(22.8) в импульсном представлении GKK при N -+ оо являются
практически достоверными величинами. Действительно,
" Г а (к, Е') dE'
в"=У '?-?¦ '
где а (к, ?) -введенная в § 1 спектральная функция, которая, как показано
в § 3, является самоусредияющейся величиной. Поэтому величина RKt
определяемая соотношением
Окк - (? -Е (к) - R% )"* (24.1)
и, следовательно, однозначно связанная с GKK, также будет практически
достоверной в макроскопическом пределе. Отсюда вытекает, что в указанном
пределе RK совпадает с 2 (к)-оператором собственной энергии в к-
представлении, где этот оператор диагоналей в силу его трансляционной
инвариантности. Таким образом, задача сводится к нахождению с точностью
до с2 уравнения для <Як>=^2(к).
Известно [89], что представление функции Грина в виде (24.1) можно
получить путем последовательного выделения содержащих Gkr членов в
уравнении для функции Грина в к-представлении:
(Е-Е (к)) вы -2 U (к -р) G" = 6И, (24.2)
Р
где
П
Действительно, напишем (24.2) для q = к:
(Е ?(k))Gkk ^4 U (к - р) GpK = 1,
р
266
выделим в фигурирующей здесь сумме слагаемое с p-к и разрешим полученное
соотношение относительно GKK- В результате найдем, что
G" = ?-?(")-*<.*> + ?-?(.)-?"> "5. U (" _Р) 6Р"' <24'3>
где /?к1>=[/(0). Далее, напишем (24.2) для GPK, р=И=к, выделим в нем
члены, содержащие GKK и GpK, разрешим это уравнение относительно GpK и
подставим полученное в результате выражение для GpK в (24.3). Это
приведет к формуле
Q I______|_ у и (к-Р) у (р-к)____________
КК ?-?(к)-Я<2> (?-?(K)-/?i2))(fi-?(p)-/?<p2>) '
где
n(2)^nm\ I V G(k -p)G(p -к)
л" -^(°)+2. ?_?М_Ли. •
Продолжая этот процесс неограниченно, получим, что GKK представимо в виде
(24.1), где
R. = U (0) + ? +
рфк Е Е (р) Ку
. у и (к-р) и (р-q) ^(q-к) . (ОА ал
РФК (E-E(P)~RKP) (?-?(q)-*f)
Я?=к, р
Величины вида RqPl *" Рт, фигурирующие в этой формуле, в свою очередь
определяются аналогичным рядом:
^"...," = У(0) + ^_?Ы|И_+... (24.5)
Однако импульсам суммирования, в дополнение к ограничениям, содержащимся
в (24.4), запрещено также принимать значения к, Pi,..., рот. Другими
словами, /?JPl *" Рт есть величина, играющая роль RK в представлении
(24.1) функции Грина оператора (22.8), в котором Е (к) -Е (рх) (рм)
- оо.
Совокупность формул (24.1), (24.4) и (24.5) называют ренор-мированным
рядом теории возмущений. Эти формулы имеют об- * щий характер и применимы
к любому оператору вида H0-fU (в общем случае вместо V (0) и С/(к - р) в
них необходимо просто писать Uкк и UKр).
24.2. Ренормированное разложение по степеням концентрации. Если мы хотим
получить соотношения для собственной энергии, в которых учтены все члены
порядков с и с2, т. е. соотношения, аналогичные формуле (22.18), то, как
ясно из ее вывода, для этого необходимо производить также выделение
номеров узлов в уравнении (24.4) или эквивалентном уравнении для самой
функции Грина. В результате такой процедуры воз-
267
никают суммы по номерам узлов, имеющие все большую кратность и не
содержащие слагаемых с совпадающими индексами. Напомним, что именно такие
суммы дают выражения, пропорциональные все более высоким степеням
концентрации. Таким образом, мы приходим к необходимости [178]
производить процедуры выделения индексов кип одновременно -первая нужна
для того, чтобы переопределить энергетические знаменатели и тем самым
привести к представлениям (24.1), (24.4), (24.5), а вторая приво-водит к
разложениям для этих величин (точнее, для близких к ним при N -> оо) по
степеням с. Для осуществления этих процедур перепишем (24.2) в виде, явно
содержащем номера узлов:
(Е-Е (к)) G.q-S f/"e-'"//"q=6s" (24.6)
П
tfn, = N-\2<^"Gpq. (24.7)
