Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
из (22.22):
t" = T"+ S T"G"T"+ 2 T"G"T",G'Tp+
m Ф n m Ф n
p ф m (22.25)
T = ST"+ 2 T"G"Tm+ 2 T"G0TmG°Tp +...
n n n
ш ф n m Ф n
p Ф m
В этих рядах все суммы, кроме первой, из-за ограничений на индексы
суммирования будут после усреднения иметь порядок не ниже с2. Что
же касается первой суммы в (22.25), то ее
среднее дает для <G> выражение
<G> = со+а"<1_1?ш)0°, (22.26)
которое с учетом (22.12) и приводит к (22.11).
Желая найти разложение <Т>, а значит, и <G>, справедливое с точностью до
с2, мы продолжим начатую выше процедуру выделения операторов tn из
уравнения (22.23). Для этого напишем (22.23) для m=?n, выделим в нем
слагаемое, содержащее tn, подставим это выражение для tm в (22.23) и
разрешим полученное соотношение относительно tn, используя при этом
(22.14). В результате получим, что
- =2fe+ Е Ц^г+ Е (22-27)
П V п Ш^п1 1п Ш=5^п 1 J
р=т, п
где *S= 2 tSt
ш Ф п
После усреднения последний член в этой формуле будет иметь порядок, не
меньший с3, в то время как первые два будут содержать слагаемые всех
порядков, в чем можно убедиться, раскладывая множитель (1 -/Ц)"1 в ряд.
Мы же должны оставить в них только слагаемые, пропорциональные с п с2.
Проделывая это, найдем, что с указанной точностью
<Т> = Сх( 1+С У TPnO'iPm+TVS-mfm~nPn\ (22.28)
V Д J
' m^n '
откуда для входящих в (22.17) диагональных элементов в к-пред-ставлении
Тк = N-1 S ехр[-/к(т-п)]<т|<Т>|п>
Ш, П
следуют соотношения (22.18), (22.19).
9* 259
§ 23. Методы самосогласованна в одноузельном приближении
Одним из важных путей нахождения плотности состояния является
использование формулы (22.20) совместно с теми или иными приближенными
методами вычисления усредненного оператора рассеяния <Т>. В частности,
для системы достаточно сильно рассеивающих примесей малой концентрации
вполне эффективными оказываются разного рода одноузельные приближения,
рассматриваемые в этом параграфе. Общей чертой таких приближений является
по возможности более полный учет взаимодействия (многократного рассеяния)
квазичастицы с одним центром и пренебрежение интерференцией волн,
приходящих от различных рассеивателей, и тем самым статистической
корреляцией между ними. Поэтому такие приближения приводят к формулам, в
которых фигурируют только характеристики одного примесного центра и
только первая степень .с. Их следует рассматривать как аналоги
одночастичных аппроксимаций типа приближения среднего поля в
статистической физике,
23.1. Приближение средней t-матрицы и модифицированного пропагатора.
Простейшее одноузельное приближение для усредненного оператора рассеяния
<Т>-приближение средней t-мат-' рицы, предложенное впервые в [159],-
получается с помощью следующей процедуры. Усредним уравнение (22.23) и
произведем в его правой части "расцепление" путем замены
<TnG°tm>-<ТП >G° <tm>.
В результате система (22.23) становится замкнутой, поскольку содержит
только <tm>, а ее решение с использованием (22.22) и (22.24) приводит к
такому уравнению для <Т>:
<T>-T+#^(I+Q,<T"- (23Л)
Ограничиваясь здесь линейными по с слагаемыми, получаем
<Т> = ст (I-ctG0)-1. (23.2)
Соответствующая (23.2) усредненная функция Грина имеет вид
<G> = G° (I-^crG0)-1 =* (Е-Н° - ci)-1 (23.3)
и поэтому отвечает гамильтониану, равному сумме Н° и эффективного, вообще
говоря комплексного, потенциала cU(l-Uf0 (Е))~г.
Точное решение уравнения (23,1) приводит к несколько иному по сравнению с
(23.2) выражению для усредненного оператора рассеяния:
<Т> = сх [I -ст (G0 - I/o (В))], и соответствует эффективному
гамильтониану вида
н.ф* = н° + 1Т+4(?)- (23-4)
260
Выражения для <Т> и Нэфф можно также получить, усредняя первые два
слагаемых в правой части (22.25) и записывая результат с превышением
точности.
Основным недостатком формул (23.3), (23.4) является то, что в них
фигурирует "невозмущенный пропагатор" G0, что, собственно, и ограничивает
их область применимости весьма малыми концентрациями. Поэтому один из
путей получения более точных выражений для <G> состоит в модификации
"пропагатора" G0, т. е. в замене ряда (22.9) или (22.26) на
ренормированный, в который вместо G0 входит <G>. Тогда в правой части
разложения (22.9) тоже будет фигурировать <G>, и поэтому теперь,
ограничиваясь несколькими первыми его членами, мы будем получать не
приближенные формулы для <G>, а приближенные самосогласованные уравнения.
Возникающая здесь ситуация напоминает ту, которая имеет место в
нелинейной механике [76], где путем введения "правильных" переменных и
составления для них приближенных уравнений удается добиться значительного
повышения точности расчетов и расширения области их применения.
Так как рассматриваемая нами задача имеет много общего с задачей многих
тел, то естественно в качестве такой "правильной" переменной ввести
оператор собственной энергии 2(?), определяемый соотношением
<G> = (? - Н° -2(B))-1.
Эта величина представляется более естественным объектом применения
различных приближенных методов, потому что разложению по некоторому
