Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(г2).+ф1 (Гз)]^з (г2-Гх, г3 гх) dr± dr2drs -f ...
Возьмем теперь в качестве Fm (г1( ...,гда) величины SpF(Hffl), где -
гамильтониан системы с т примесными потенциалами:
т
H" = H° + U<">, У<">(г) = 2 И (г-IV).
/= 1
252
Тогда, учитывая, что при V-+оо оператор Hw в силу трансляционной
инвариантности зависит от параметров гу также трансляционно инвариантным
образом, найдем [155, 156], что в этом пределе
F(n) = lim V_1</>(ri, . •гЛг)>=/70 + /гФ1 +
N, V оо N/V -+ п
+ ТГj (Фз(г)-2ФХ)(г)ч-J[Ф3(Гх. Г2)-Ф2(>*1 - Г2) -
-ф2 (Гх) -Ф2 (га) + 3<DJ w3 (гь г,) drxdr2 + ..., (22.1)
где теперь
F0^ lim V-'SpFCH0), (22.2)
0m-Sp(F(HJ-F(H<>)).
Очевидно, что если в Hm координаты примесных атомов разбиваются на две
группы, содержащие тх и т2 центров (т~ тх-\-т2), и расстояние между этими
группами стремится к бесконечности, то Фв ->ФЛг + Фй*,. Это свойство
функций Фт обеспечивает сходимость интегралов в разложении (22.1), так
как в них Ф2~^-2Ф1 И т. д.
Как ясно из (22.2), задача о вычислении коэффициентов разложения (22.1) в
случае произвольной функции F (Н) сводится к нахождению этих
коэффициентов для плотности состояний. Однако эти последние имеют
несколько громоздкий вид, и поэтому удобнее выписать коэффициенты
разложения величины
Е
Ж (Е,п) = J р(?', n)dE',
причем очевидно, что
lim V-1 Sp F (Н) = - \ Г (Е) <АГ (?, п) dE.
V ОС
Так как off(E, п) соответствует функция л-*1 Imln(? - Ю - Н), то
ЛГ(?. ~n)-JT(E, 0)^-l(E, л) = ? ^|i"(?).
т = 1
где
р2 (E) = - l (|. (г; Е)-2\х (Е)) т2 (г) dr,
Из (В) = - J [I" (Г!, г2; ?) - |я (iy, Е) - %2 (г2; Е) -
- Ъг (**х-г2; Е) + 31, (?)] w3 (rlf г2) dr, dr2
и т. д.
253
Величины |я, называемые функциями спектрального сдвига, определяются
формулами [157] -
1т - - я"1 ImjSpfln (Е - Ю-HJ-In (Е-г'О-Н0)]
или
ът = я-1 Im Sp [In Gm (E - iO)-In G° (E-iO)], (22.3)
a Gm(E) - (E-HJ"1-функция Грина оператора Hm. Величины Фх, Фа, ... из
(22.2) и ?2, ... связаны следующими соотношениями, называемыми обычно
формулами следов [157]
Для функций спектрального сдвига можно указать и несколько иные,
чем (22.3), выражения. Для этого заметим, что
Gm (Е) удовлетворяет уравнению
G, = G0+G°U(->Ge, (22.4)
откуда
GM = (I -G°U(ra))-1 G° (22.5)
и, следовательно,
Sp (GM-G°) = Sp (I - GHJ^)"1 G°sU(m) ==
= Sp In (I - G°U(n,)) = lndet (I -G°U<*>)
(I-единичный оператор). Поэтому
?m = xc-1 Arg det ГI - G°
\ /
С помощью этой формулы нетрудно убедиться, что, если Н° есть
трансляционно инвариантная часть Н и потому имеет только непрерывный
спектр, то \т является кусочно-постоянной функцией Е на обусловленном
возмущением Um дискретном спектре оператора и непрерывно меняется на
затравочном спектре Н°.
Если каждое из возмущений Uy является оператором ранга 1, т. е. имеет вид
(1.20) (диагональная неупорядоченность в модели сильной связи (1.6),
изотопические примеси в решетке, точечные потенциалы в уравнении
Шредингера), то стоящий справа в (22.6) детерминант есть детерминант
матрицы m-го порядка с элементами
б и - Uj <cpt-1 G° | фу>, i, / - 1, 2, ..., m. (22.7)
В качестве иллюстрации полученных формул рассмотрим кратко вопрос о
влиянии тяжелых изотопических примесей на фононную теплоемкость
кристалла. Как ясно из (1.24), изотопическим примесям отвечает оператор
Uy вида
(U/U п'а' = МбМаа'дп п'.
254
2 иу
=i '
(22.6)
Предполагая для простоты, что спектр кристалла состоит из одной зоны,
занимающей интервал (0, оДО оси квадратов частот, и пользуясь (22.1) и
выражениями для термодинамических функций гармонического кристалла [150],
найдем, что
С(Г)-С0(Г) + ДС(Г).
Здесь С0 (Т)-удельная теплоемкость идеальной решетки,
i
ДС(Г) = -пГЦф(е,Г)&, е = 4-.
J ОБ ам
?(е) = - л-1 Argf l+6-ej^j^-Y
^ о '
Ф (е, Т) - ф У г ^ , ф (jc) - 3x4х (ех - I)2,
а р(е) - плотность состояний, приведенная к интервалу (0,1). Поведение
функции спектрального сдвига ?(е) зависит от знака 6. Если 6 < 0 и
удалено от нуля, то функция d (е) = 1
= 1+68ГРН41 имеет положительный нуль ел>1, что приво-
J Б - Б 0
дит к появлению скачка ? (е) в этой точке и отвечает возникновению
локального уровня при введении в кристалл достаточно легкой примеси.
Совокупность вопросов, связанных с существованием локальных уровней,
будет обсуждаться в гл. VI. Здесь же мы рассмотрим противоположный случай
достаточно тяжелых примесей: 6^>1. В этом случае ?(е) = 0 при е>1, а при
0 < е < 1
Б(еН - ^rarctg |яр(е) 6в^1+бj
(символ^ обозначает интеграл в смысле главного значения). Так
как в трехмерном случае р (е) w р0 У в при 6 I, то вклад в интеграл от
окрестности нуля несуществен, и поэтому при малых е функция d(&) & I -
¦б8<е"1>, где
(тЧ^-
о
и d(e) обращается в нуль в точке е0, 0 < е0= 1/б<8'1><^1. Величину (ймВог
обычно называют квазилокальной частотой, поскольку в рассматриваемом
случае плотность состояний имеет в окрестности этой частоты весьма резкий
пик. Именно, как
255
показывает анализ [158], di/de, в интервале (0, Зе0) имеет вид \
д| 1 у Зе0/е - 1 лр0е^г
^ ; V- <e-i> •
