Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
оставаясь даже в рамках теории возмущений, необходимо использовать ее
модифицированные варианты, в которых произведено суммирование некоторого
бесконечного класса членов ряда, что соответствует учету простейших
поправок не к самой функции Грина, а, например, к массовому оператору.
Один из таких модифицированных методов подробно описан в монографии
[111], где даны также его применения к вычислению ряда характеристик
нормальных и сверхпроводящих металлов, содержащих парамагнитные примеси.
При этом оказывается, что критерий применимости метода включает также
условие малости концентрации примесных атомов.
250
Существует, однако, и другой способ учета малости этого важного
параметра, являющегося основной характеристикой меры неупорядоченности в
таких часто используемых моделях, как (1.3),
(1.7), (1.28). Этот способ состоит в разложении разнообразных усредненных
величин непосредственно по степеням концентрации и отнюдь не предполагает
малости потенциала примеси. Будучи применен к средней функции Грина,
такой метод разложения уже при учете нескольких первых членов позволяет
про:ледить на качественном, а зачастую и на количественном уровне за
обусловленным случайным возмущением изменением спектра и плотности
состояний. Возможности такого метода существенно расширяются при переходе
к его модифицированным вариантам, которым и посвящены две следующие
главы.
В шестой главе они будут использованы для исследования примесной зоны.
Настоящая глава посвящена описанию общей структуры разложения по степеням
концентрации и его простейшим применениям. В ней рассмотрены также
некоторые способы модификации и самосогласования этого разложения. Эти
способы приводят к выражениям, содержащим, кроме характеристик
трансляционно инвариантной части гамильтониана, только первую степень
концентрации. Они представляют собой по существу различные аналоги
приближения Хартри - Фока в теории многих тел и оказываются пригодными
для исследования отвечающей делока-лизованным состояниям области
непрерывного спектра, лежащей достаточно далеко от его границ. Здесь они
сохраняют смысл и не при малых концентрациях, приобретая в этом случае
интерполяционный характер и иллюстрируя качественные тенденции в
изменении свойств системы.
Необходимо отметить, что в настоящее время существует несколько таких
одноузельных (single-site) методов. Их использование для количественных
расчетов оказывается в сильной степени зависящим от области спектра и
характера вычисляемых величин. Поэтому вопрос о выборе некоторого
"наиболее оптимального" метода не является, вообще говоря, корректно
поставленным.
В § 22 излагается метод разложения по концентрации для величин общего
вида V_1SpF(HK) и, в частности, для средней функции Грина <G (?)>, как
одной из наиболее важных величин. В §23 кратко обсуждаются одноузельные
приближения для средней функции Грина и отвечающего ей оператора
собственной энергии. Следующий § 24 посвящен выводу формул, уточняющих
некоторые из одноузельных приближений в следующих порядках по
концентрации и используемых в следующей главе. В §25 рассмотрена модель,
являющаяся точно разрешимой в макроскопическом пределе и в которой в этом
пределе исчезают флук-туационные эффекты. Поскольку выражение для r-
1SpG(?) в этой модели совпадает с тем, которое получается в одном из
одноузельных приближений-приближении модифицированного пропагатора, то
тем самым показано, что это приближение соот-
251
ветствует пренебрежению флуктуациями и поэтому имеет характер приближения
среднего поля.
Наконец, в § 26 рассмотрены случаи, в которых средняя функция Грина
вычисляется в замкнутом виде. В терминах общего гамильтониана (1.28) все
эти случаи могут быть охарактеризованы тем, что для них локальные
возмущения U" являются операторами первого ранга, собственные функции
которых сосредоточены в окрестности точек регулярной решетки, а случайные
амплитуды Un имеют плотность вероятностей вида ^ _ J ъ 2
(распределение Коши).
§22. Разложение по степеням концентрации
22.1. Изложение метода. Квазилокальные уровни. Рассматриваемое в этом
параграфе разложение применимо к величинам вида
V~x SpF (Hv) =^F(E)p (E, n) dE
и является прямым аналогом вйриального разложения по степеням плотности в
статистической физике. Исходным моментом при получении этого разложения
является следующее легко проверяемое тождество, справедливое для любого
набора симметричных функций Fm( г15 ..., rj, О (F0 -число):
FN(r1, ...,rJV)^F0 + 2<l>i(ri)+ S №(*¦,¦, r/)-ф1 (гг-) -Фх (ry-)]+
i i < j
+ [Ф"(гх-. r/f rk)- Ф2(Г;., Гу) Ф2 (Г(-, гк)-
- Ф2(Гу, Гй)4- (Г^+Ф! (Гу)4*ф1 (rft)]+ ...,
где Фт(Г!, . ..,г m)~Fm-F0. Считая в этом тождестве точки г}-координатами
примесных атомов и усредняя по ним с использованием введенных в § 2
корреляционных функций, получим при N ->- оо следующее соотношение:
<^(*-11 ¦ • *" гл)> =РъЛ-п ^Ф1 (ri) ^i4-
+ If J [ф2 {ru Гя) -Ф± (rj -ф! (г,)] ш2 (г, -гх) dr, dr2 +
+ -^г],[ф"(г1. г2, гв)-Фа (гх, г2)-Ф2(г2, г3)-Ф2(г3, г1)+Ф1(г1) + + ф1
