Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
себя как ?/r"a, ?/ > 0, а >d (последнее неравенство есть условие
конечности интеграла, фигурирующего в выражении (16.1) для k^(t)y и
поэтому необходимо должно выполняться в рамках используемого нами
метода).
Для получения оценки снизу будем пользоваться неравенством
(21.6), взяв, как и в § 17, функцию ф(г) в виде ^-^а1Г(г//?), где "ф (х)
= 0 при х > 1. Найдем асимптотику In (t)y соответствующую такой ф(г) при
больших Rut. Для этого разобьем область интегрирования в интеграле,
стоящем в показателе экспоненты в (16.1), на две: r^LRy r>R. Тогда в
первом интеграле можно пренебречь слагаемым ехр(-tu^ (г)), поскольку
соответствующий интеграл исчезает при t-+ оо, а во втором вместо функции
и (г) можно подставить ее асимптотику Ur~a. В результате найдем, что
In р (t) ^-сodnRd-imdT (d/a+1) (tU)d^, (21.11)
где со,*-объем d-мерного шара единичного радиуса.
Подставляя это выражение для 1пр(?) в (21.6) и минимизируя сначала по Ry
а затем по ^(х), найдем, что правая часть (21.11) приобретает вид
- оф, d) **/<*+*>-'7md(tU)d/aT (d/a+1), (21.12)
где х(п, d) = (d-^-2)/2 (2ed/d)d^d+2> (na)d)2^d+2>y ed-энергия основного
состояния частицы в сферической бесконечно глубокой потенциальной яме
единичного радиуса, отсчитываемая от дна' ямы. Из (21.12) вытекает, что
при a<d-f 2 наилучшей оценкой снизу для 1пр(?) на пробных функциях
рассматриваемого вида будет
248
выражение
- т>а (tU)dlaY (d/a-f 1),
(21.13)
а при a>d-f-2-выражение
- х (/г, d) td^d+2K
(21.14)
Далее, поскольку в случае медленно убывающего потенциала "(г) (a<d-f-2)
главным членом оценки снизу оказывается не зависящее от R второе
слагаемое в (21.11), то ясног что асимптотически точную оценку сверху для
1пр(/) можно получить с помощью неравенства (21.10), не содержащего
кинетической энергии. Явный вид его правой части получается как частный
случай (16.1) при -ф2 (г) = 5 (г) и, как показывает несложное вычисление,
действительно приводит к выражению (21.13) при t -> оо. Таким образом,
имеем окончательно, что в случае медленно убывающего потенциала и (г) (и
(г) " Ur~a, г -> оо, a < d-f-2) асимптотика lnp(^) при i ^ оо имеет вид
(21.13), а тогда в соответствии с (17.2) при Е О
где у = жо^Г (d/a 1).
21.3. Быстро убывающие отталкивающие потенциалы. Если же потенциал
убывает достаточно быстро (и (г) ^ Ur~a, a > d + 2), то оценка (21.10)
становится недостаточно точной, поскольку, как было видно уже при
получении оценки снизу (21.14), оптимальные волновые функции становятся
слишком острыми и поэтому существенную роль начинает играть также и
кинетическая энергия 7>. Однако в этом случае можно воспользоваться
результатом работы [149], в которой показано, что винеровский
континуальный интеграл
при t -у оо имеет оценку сверху, как раз совпадающую с (21.14). Таким
образом, (21.14) также является асимптотической формой lnp(f), а тогда
формула (17.2) приводит к выражению (17.5) для Ф (Е) при Е -5-0.
В заключение отметим следующее. В этой главе пробные функции в
вариационных формулах всякий раз выбирались сферически-симметричными. Тот
факт, что такие функции приводят к двусторонним оценкам для Ф(?), которые
являются асимптотически точными при Е Егр, показывает, что
экстремальные флуктуации
действительно имеют сферическую симметрию.
J (s) ехр - J г2 (s) ds х
о
X ехр
(- п J 1 -ехр ( - J и (г (т) - г) dr^j dr J
I L \ о / J J
249
Г л а в а V
МЕТОДЫ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущей главе мы проанализировали флуктуационную область спектра,
которая полностью отсутствует в упорядоченном случае и обусловлена весьма
маловероятными флуктуациями случайного потенциала. Последнее
обстоятельство приводит, как мы видели, к тому, что плотность состояний в
этой области спектра экспоненциально мала и потому интеграл от нее
составляет лишь малую долю полного числа уровней системы. Что же касается
той области спектра, где плотность состояний существенно отлична от нуля,
то ее эффективный анализ удается провести лишь при наличии некоторых
малых параметров, характеризующих неупорядоченность системы. Простейшая
из таких ситуаций возникает тогда, когда малым является случайный
потенциал или, в более общем случае, обусловленная неупорядоченностью
часть полного гамильтониана системы. В этом случае, казалось бы, можно
находить как среднюю функцию Грина системы, так и ее более сложные
характеристики с помощью обычной теории возмущений по случайной добавке.
Ясно, однако, что на таком пути в любом конечном порядке спектр будет
совпадать со спектром невозмущенного гамильтониана, отвечающего
упорядоченной (возможно, эффективной) системе. Поэтому получающиеся в
результате формулы могут быть использованы только при значениях энергии,
лежащих глубоко внутри спектра затравочной системы. Причиной этого
является хорошо известное обстоятельство, состоящее в том, что указанное
разложение не учитывает изменения полюсной структуры функции Грина,
которая как раз и ответственна за спектральные свойства. Поэтому,
