Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
особенностью числителя.
§ 36J ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ 175
Опережающая функция Грина вводится аналогичным образом, согласно
определению,
Функция GA (со, р) в импульсном представлении является аналитической
функцией переменной со, не имеющей особенностей в нижней полуплоскости.
Ее разложение отличается от (36,6) изменением знака перед Ю в
знаменателях. Это значит, что на вещественной оси GA (со) = GR* (со), а
во всей плоскости со:
При со -> оо функции GR и GR стремятся к нулю по тому же закону, что и
функция G:
Напомним (см. вывод (8,15)), что коэффициент (единица) в этом
асимптотическом выражении определяется величиной скачка функции при 12 =
tx', этот скачок не зависит от температуры и одинаков для всех трех
функций GR, GA, G, как это ясно из их определений.
Для установления связи между введенными таким образом функциями GR, GA и
обычной функцией Грина
получим для последней разложение, аналогичное (36,5). Вычисления, вполне
аналогичные произведенным выше, приводят к результату *):
*) При переходе к импульсному представлению интеграл по t разбивается на
две части -от - оо до 0 и от 0 до оо, причем в одной из них производится
переобозначение индексов суммирования т, п.
iG^(Xu Х2) =
О ,. *!>*!,
- <Уа (Xt) У+р (Х2) + Тр+ (Х2) Уа (Хг)>,
(36,9)
GA (со*) = GR* (со).
(36,10)
GR, GA-> 1/со при | со |-юо.
(36,11)
iGaP(XIt Xt)=<TWa(Xi)^(X,)>
(36,12)
G (со, р) ? wnAmn6 (р-кШ1) х
т, п
т, п
X + е Mffi"/r) + tJt6(co - com")(l- е-"""/г)|
.
(36,13)
Сравнив (36,13) и (36,6), найдем
(36,14)
При этом, как видно из того же выражения (36,13): sign!mG(co, р) = - sign
со.
(36,15)
176
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
Обратим внимание на то, что функция G, в отличие от GR и GA, не является
аналитической функцией со.
При Т -> 0 имеем cth (со/2Г)-"-sign со, и из (36,14) следует, что на
вещественной оси
Таким образом, функция G (со) при Т - 0 представляет собой на двух
вещественных полуосях со предельные значения (при | Irn со |->-0) двух
различных аналитических функций: G^(co) на правой и GA(iо) на левой
полуоси.
Легко написать выражения функций GR, GA для идеального ферми-газа.
Достаточно заметить, что они удовлетворяют тому же уравнению (9,6), в
выводе которого использовано лишь значение скачка функции при ti = t2.
Способ же обхода полюса известен из того, что для GmR он должен проходить
под, а для G(0M - над вещественной осью. Отсюда следует выражение
справедливое как при нулевой, так и при конечных температу рах. Для
функции же G<0) находим, согласно (36,14),
При Т-+ 0 мы вернемся к формуле (9,7), отличающейся от (36,17) заменой ±
i0 на i'0-signco.
Приведем аналогичные формулы для случая бозе-системы. Запаздывающая и
опережающая функции Грина определяются согласно:
Если при этом идет речь о температурах выше Л-точки, то в этих
определениях фигурируют полные ^-операторы; при температурах же ниже Л-
точки определение относится к надконденсатным операторам. Вместо (36,6)
имеем теперь
G*(со, р) = (2я)" ? wn 4Г-<?"ipb"' 0(36,20)
тп, п
Связь же этой функции с G дается формулой
со > 0, со < 0.
(36,16)
QWR, А (со) Р)=[сО-^ + 1,±Ю]-\ (36,17)
Gl0) (со, р) = Р
о)-р2/2т 4- JJ-
+ ц). (36,18)
GR(со, р) = Re G (со, р)+ i th• Irn G (со, р), (36,21)
§ 37]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ТРННА
177
причем на вещественной оси
Im G (со, р) < О
(36,22)
(функция G определяется, согласно (31,1), с усреднением по распределению
Гиббса вместо усреднения по основному состоянию). Для идеального бозе-
газа функция GR дается той же формулой (36,17), а функция G:
Физический смысл функций Грина при отличных от нуля температурах в
основном Совпадает с их смыслом при Т0. Разумеется, остаются
справедливыми формулы, связывающие гриновскую функцию G с импульсным
распределением частиц (7,23) и вообще с матрицей плотности (7,18),
(31,4).
Остаются в силе также и основные утверждения о совпадении полюсов функции
Грина с энергией элементарных возбуждений (поскольку, однако, сама
функция G не аналитична, то при этом удобнее говорить о полюсах
аналитической функции GR, которые она имеет в нижней полуплоскости со,
или о полюсах функции GA в верхней полуплоскости). Это утверждение снова
(как и в § 8) следует из разложения (36,6). Хотя в различных членах этого
разложения фигурируют теперь частоты переходов атп между любыми двумя
состояниями системы, но (после перехода к макроскопическому пределу) по-
прежнему остаются полюсы, отвечающие лишь переходам из основного
состояния в состояния с одним элементарным возбуждением. Переходы же
между двумя возбужденными состояниями не приводят к возникновению полюса
в макроскопической одночастичной функции Грина по той же причине, по
которой не приводят к возникновению полюса и переходы из основного в
состояния с более чем одной квазичастицей (см. § 8): разность энергий
таких состояний не определяется однозначным образом разностью их
импульсов.
Подчеркнем также, ч.то при отличных от нуля температурах
