Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
пороговой точке.
глава iv
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 36. Гриновские функции при конечных температурах1)
Определение функции Грина макроскопической системы при отличных от нуля
температурах отличается от их определения при нулевой температуре лишь
тем, что усреднение по основному состоянию замкнутой системы заменяется
усреднением по распределению Гиббса: символ <...> будет теперь обозначать
где суммирование производится по всем состояниям системы (отличающимся
как энергией Еп, так и числом частиц Nn), Е'п=Еп-^JVn, а <п|... |п> -
диагональный матричный элемент по n-му состоянию. Определенные таким
образом средние значения являются функциями термодинамических переменных
При исследовании аналитических свойств гриновских функций при конечных
температурах (Л. Д. Ландау, 1958) целесообразно воспользоваться так
называемыми запаздывающими и опережающими функциями Грина, аналитические
свойства которых оказываются более простыми2). Для определенности будем
говорить сначала о ферми-системах.
Запаздывающая функция Грина определяется согласно
Для микроскопически однородной неферромагнитной системы, в отсутствие
внешнего поля, эта функция (как и обычная Gap) сводится к скалярной
функции, зависящей лишь от разности
<...> = 2wn <п| ... | п>,
П 1
(36,1)
fG5p(Xlf Х2) =
о
(36,2)
Х = Хх-Хг\
G5p(Xlf Xe) = 6ePG*(X), G"=4G20. (36,3)
*) В §§ 36-38 пользуемся системой единице
2) Эти функции принято отличать индексами R и А-от английских слов
retarded и advanced.
§ 36] ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ 173
Переход к импульсному представлению осуществляется обычным образом. Но
поскольку GH(t, г) = 0 при t < О, то в определении
00
G^co, р) = е1 ("<-рг) Gr {t, r)dtd3x (36,4)
о
интегрирование по t производится фактически лишь отОдооо. Смещение
переменной to в верхнюю полуплоскость лишь улуч-' шает сходимость такого
интеграла. Поэтому интеграл (36,4) определяет в верхней полуплоскости со
аналитическую функцию, не имеющую особенностей1). В нижней же
полуплоскости, где функция GR определяется путем аналитического
продолжения, она имеет полюсы (см. ниже).
Получим для функции GR разложение, подобное выведенному в § 8 разложению
(8,7) для функции G при Т = 0.
Раскрыв матричный элемент <п | ... | пу от произведения •ф-операторов по
правилу матричного умножения и выразив матричные элементы в виде (8,4),
получим
iG*(t, г)=*
= wп <^|Ф<х (0)Jm> <m|^+ (0)|n> +
n, m
+ el {a'*n'~kmnr) (0) I my <m| ^a(O) |n>,
где
йлл = ^"| En, kmn = Pm P".
Для двух членов в фигурных скобках суммирование по п и т имеет несколько
различный смысл: в первом члене числа частиц в состояниях лит связаны
соотношением Nт = а во втором: Nm = Nn-1. Чтобы устранить это различие,
взаимно переобозначим во второй .сумме индексы тип. Заметив также, что
<я | (0) \ту<т\ (0) |я> = |<п|г?а (0) j ту |2 а Атп,
приводим все выражение к виду
iGR{t, г)=4? мпе-^°>тп*-Кп') Amn{\+e-°>mJT), t> 0.
п, т
____________________ (36,5)
*) Ср. аналогичные рассуждения для функции а (й) в V § 123. Сходство
аналитических свойств функций и а, разумеется, не случайно: согласно V
(126,8), последняя выражается аналогичным образом через определенный
операторный коммутатор.
174
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [ГЛ. IV
Наконец, при вычислении интеграла (36,4) заменяем (как и в § 8) со-*-со +
iO и окончательно находим:
G* (со, р) =(1 + е-^п/т). (36,6)
т, п
Обратим внимание на то, что все полюсы этого выражения расположены (в
соответствии со сказанным выше) под вещественной осью, в нижней
полуплоскости со.
Последнее свойство достаточно для того, чтобы установить определенную
связь между вещественной и мнимой частями функции - так называемое
соотношение Крамерса - Кронига, или дисперсионное соотношение:
ReG* (со, р) = 1 ^ Р) du (36,7)
- оо
(см. вывод такого же соотношения для а (со) в V § 123). В его
справедливости можно также убедиться и непосредственной проверкой,
отделив в (36,6) вещественную и мнимую части с помощью формулы (8,11).
Отметим также, что с учетом той же формулы можно переписать (36,7) в виде
Р> = ? <36'8>
- 00
где
р(н, р) = - ^2М""в("-соот") б (р - кяв)(1 +е-атп'Т). пг, п
При вещественных со имеем p = ImG/?.
Представление (36,8) приобретает более глубокий смысл при переходе к
"макроскопическому пределу" F-^ оо (при заданном отношении N/V). В этом
пределе полюсы соотп сливаются, и функция р (и) делается отличной от нуля
при всех и (а не просто равна сумме б-функций в дискретных точках). При
этом формула (36,8) непосредственно определяет GR(со) в верхней
полуплоскости со и на вещественной оси. Для определения же Сй(со) в
нижней полуплоскости со необходимо произвести аналитическое продолжение
интеграла, для чего следует деформировать контур интегрирования таким
образом, чтобы он всегда огибал точку н = со снизу. При этом GR(a) может
иметь особенности в нижней полуплоскости (на конечном расстоянии от
вещественной оси), когда контур "зажимается" между полюсом и = со и
