Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
-----!¦•••
аналогичным ряду (17,3) для четырехконцевой вершинной функции. Его
суммирование приводит к уравнению
•Л
У>- = + ')@-L
р-а я-a р~а1, р-ц (ср. (17,4)); в аналитическом виде, при Q " Qc, оно
дает ГДР) = с(Р) + <*(Р)П(Р)ГДР),
где с(Р), d(P) - регулярные функции. Исключив теперь Г,, из двух
полученных уравнений, найдем искомое выражение
Ситуация здесь аналогична уравнению Дайсона в квантовой электродинамике
(см'. IV § 104): как и там, вся требуемая совокупность диаграмм
получается путем введения поправок лишь к одной из вершинных функций.
§ 35] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ
169
функции Грина через П:
(35,6)
где А, В, С-снова регулярные (вблизи Р - Рс) функции.
Дальнейшие вычисления различны для разных типов распадов квазичастиц.
а) Порог распада на два ротона
В этом случае энергия е (q) распадных частиц вблизи порога дается
формулой (22,6), и интеграл (35,3) принимает вид
Для интегрирования вводим новые переменные q'2, q'p, согласно
определению,
qx = (р0 sin 0 + q'p) cos <p, qy = (p0 sin 0 + Qp) sin q>,
Qz = Po cos 0 q'z,
причем ось z направлена вдоль р, а угол 0 определен равенством 2/?ocos0 =
/?. Вблизи порога q'z, q'p малы, и с нужной точностью имеем
q да р0 + q'p sin 0 + qz cos 0, | p - q | да p0 + q'p sin
0-q'zcos 0,
d3q да pB sin 0 dq'p dqz dcp.
Выражение в фигурных скобках в (35,7) принимает вид
Расходимость этого интеграла при больших р связана лишь со сделанными
пренебрежениями и несущественна; обрезание интеграла при некотором
значении р2^>|2А- в\ даст вклад лишь в регулярную часть П. Интересующая
же нас особая часть этой функции возникает от области вблизи нижнего
предела интегрирования, и для нее находим
П (со, q) = j {со - 2А-^ [(q-Ро)2 + (I Р~Ч I-Ро)а] ^ •
(35,7)
{со-2А-(q'p2 sin2 0 + qz2 cos2 0) J-
и после повторной замены переменных
q'p sin 0 = j/m* р cos tj;, q'zcos 0 = Ym* P sin ф находим, интегрируя по
г|\
- м + 2Д + р2 '
170
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
При малых значениях 2А-со этот логарифм велик; подставив (35,8) в (35,6)
и разложив по его обратным степеням, получим
G-Чю. /?) = & + с1п->2д^,
где а, Ь, с-новые регулярные функции от со и р. В пороговой точке (р =
рс) энергия распадающейся квазичастицы равна 2А. Поскольку энергия
квазичастиц определяется нулями функции G-1, то это значит, что G-1(2A,
рс) = 0, а для этого должно быть и b (2А, рс) = 0. Но регулярная функция
b (со, р) разлагается по целым степеням разностей р-рс и со - 2А; заменив
также регулярные функции а (со, р) и с (со, р) их значениями в пороге,
получим в результате следующее выражение функции Грина в околопороговой
области:
G"l((r), Р) = Р [р-^ + а1п_1Ж=^] ' (35,9)
где а, а, |3 - постоянные.
Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра е (р) вблизи
порога. Если область невозможности распада лежит
при р < рс, е < 2А, то постоянные а и а должны быть поло-
жительными и уравнение G_1 = 0 имеет здесь незатухающее решение
е = 2А-аехр(-^-). (35,10)
Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке с горизонтальной
касательной бесконечного порядка. В области же р> рс уравнение G-1 = 0 не
имеет ни вещественных, ни комплексных решений с е да 2А при р да рс. В
этом смысле кривая спектра вообще не продолжается за пороговую точку,
оканчиваясь в ней *).
б) Порог распада на две квазичастицы с параллельными импульсами
Поскольку в пороговой точке, при р = рс, выражение e{q) - е (| р-q|), как
функция от q, должно иметь минимум, то вблизи порога оно имеет вид
е (ч)-е (I р ^- q I)=ес+vc {р-Рс)+" (ч ¦- q")2+Р (q-q0. рс)2.
(35,11)
!) Как уже было указано в примечании на стр. 163, в жидком гелии спектр
заканчивается именно в точке такого типа (кривая на рис. 2 приближается к
прямой е = 2Д с горизонтальной касательной).
§ 35] СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ 171
где а, р-постоянные; vc есть скорость каждой из рождающихся в пороговой
точке распадных квазичастиц, a q0 - импульс одной из них. Подставив
(35,11) в (35,3) и введя новые переменные интегрирования согласно
p = q-q0> ppc = ppccos\i\
получим
•pj , ч___ 1 Г*___________р2 dp d cos г|?_____
I(r), Р) ^2n)2 J e - ec-vc(p-pc) - apa-Ppap2cos2 ф '
Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность: П с\э \vc (р-
рс) - (е - ej]1/2. (85,12)
Подставив это выражение в (35,6), находим гриновскую функцию в
околопороговой области
G-i(fi), р) = Л (со, р) + Я(са, р) [vc{p-рс) - (ш - ес)]'/2.
Так как G"1^, рс) = 0, а А и В - регулярные функции, то, разлагая
последние по степеням р-рс и со - ес, окончательно находим
G"1 ос [vc (р-рс) - (ш - ej]1/2 +[a (р-рс) + Ь (со-ес)], (35,13)
где а, b-постоянные.
Вид спектра определяется уравнением G_I(e, р) = 0. Ищем его решение в
виде е-sc=vc (р-p)+const(p-рс)2; для того чтобы оно существовало при р <
рс, должно быть a + ta>c> 0 и тогда
е = + vc (Р-Рс) - (а + bvcy (р-рсУ. (35,14)
При том же условии в области р>рс уравнение G-l = 0 не имеет решений с
е&ес при ржрс. Таким образом, и в этом случае спектр обрывается в
