Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
гейзенберговских операторов Ф в отсутствие взаимодействий, а
гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит, так что
совпадает со своим значением при t - - оо, когда взаимодействие
отсутствует. Поэтому, в частности,
<W0a(X1)?0+13(X2)> = /G^(^i, *2) (12,15)
есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.
§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем
Смысл символических выражений типа (12,14) состоит в том, что они дают
возможность легко написать последовательные члены разложений по степеням
V. Так,
<WoaWtf"+p(X')S> =
gO (r)
= J J dtn<TY0a(X)W^(X')V0 (*х)...К (*")>,
л = 0 - оо - со
(13.1)
а выражение для <S> отличается от написанного лишь отсутствием множителей
Фосфор под знаком Т-произведения. Как уже было указано, оператор V0(t) в
представлении взаимодействия получается из (7.7) заменой всех Ф на
Вычисление последовательных членов разложения (13,1) сводится,
следовательно, к вычислению средних по основному состоянию от Т-
произведения различного числа г|>операторов свободных частиц.
Эти вычисления в значительной степени автоматизируются с помощью правил
диаграммной техники, которые, однако, существенно зависят от характера
исследуемой физической системы. Излагаемая в этом параграфе техника
относится к несверхтекучим ферми-системам, причем взаимодействие частиц
предполагается парным и не зависящим от спинов. Соответствующий оператор
взаимодействия:
р.(0 =
= у f ^o+v (С 14) t"+6 (t, г,) и (14-г2) *об (t, г2) t0Y (t, rj d'Xi d*x"
(13.2)
где U (гх-г2)-энергия взаимодействия двух частиц (индексы (2) у V и U
опускаем).
§ 13]
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ
65
Среднее значение произведений г|>операторов вычисляется с помощью теоремы
Вика, которая гласит1):
Среднее от произведения любого (четного) числа операторов Ф и Чг+ равно
сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих
операторов. В каждой паре операторы стоят в той же последовательности,
что и в первоначальном произведении. Знак каждого члена в сумме
определяется множителем (-1)р, где Р - число перестановок операторов,
которые надо произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.
Отличны от нуля лишь свертки, в которые входит один оператор 'F и один
Ф+: в диагональном матричном элементе все частицы, уничтожаемые
оператором Ф, должны быть вновь рождены оператором Чг+. Ясно поэтому, что
среднее от произведения нескольких г|>операторов может быть отлично от
нуля, только если в нем содержится одинаковое число операторов Ф и 'F+.
В применении к среднему от Т-произведения теорема Вика позволяет выразить
его через средние от попарных Т-произве-дений, т. е., согласно (12,15), -
через гриновские функции свободных частиц. Сделаем это для поправки
первого порядка в функции Грина системы взаимодействующих частиц.
Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Вика выражения в
числителе формулы (12,14) возникают, в частности, члены вида
<Ttoa (XJ Y"+p (Х2)> <S> = iGa°p (Хи Х2) <§>, (13,3)
в которых пара "внешних" (по отношению к S) ЭД-операторов сворачивается
между собой; выражение же <S> содержит (в каждом члене его разложения)
лишь свертки "внутренних" операторов между собой. Множитель <S>. целиком
сокращается со знаменателем в (12,14), и, таким образом, все эти члены
дают просто "невозмущенную" гриновскую функцию iGai-
Оставив в (13,1) два первых члена разложения, подставив
(13,2) и переобозначив переменные, получим
Шае(Хи X,)"*G$ + iG$,
где
= - y <т*о" (* J (*•) х
оо
X S dt Sd%d%4rfv(<,rl)to+e(<,r.)t/(p3-r1)toe(<, rjtfovtf.r,".
- 00
J) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложим на
конец параграфа.
66 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СПСТЕМЫ ПРИ Т" 0 [гл. II
Для большей компактности записи формул введем обозначение и (Х.-Х,) = и
(Г1-г2) б (^-д. (13,4)
Тогда !>)
*'СЙ> = -§- J <T1Wtj^ t4t3> UM d*X3 d*Xt,
где diX = dt d3x.
Чтобы усреднить по теореме Вика, выпишем отдельно операторы и изобразим
все нужные варианты сверток:
*
%+%+ %+
Согласно сказанному выше, опущены члены, содержащие свертку . Попарно
сворачиваемые (соединенные дугами) операторы надо переставить к соседству
друг с другом. Так, первый из. написанных членов означает произведение
<ТЧ>Д3+> <TW4>
а последний
-<ТВД> <Т<4*Ya>.
Свертки произведений ^-операторов различных аргументов заменяются
согласно
чу?3+ =iGb,4^F4=-/^4и т.п.
Свертки же ^-операторов одинаковых аргументов представляют собой
пространственную плотность числа частиц в идеальном газе (обозначим ее
через п(0)), понимаемую как функцию химического потенциала2):
<Т+Ч>>-п""(ц) = -^^)!^. (13,5)
*) Здесь и ниже для упрощения записи особенно громоздких выражений
условимся опускать индекс у Yc а цифровыми индексами 1, 2, ... обозначать
совокупность значений аргумента X и спинового индекса:
= фр (Х2), ...
С?12 = Gap C^it Лу, U12 = U (Xj-Х%).
2) Такие свертки всегда происходят от ф-операторов, входящих в состав
одного и того же оператора взаимодействия V. Поэтому в таких членах Ф+
