Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (12,3) легко получить, заметив, что преобразованию операторов,
согласно (12,1), отвечает преобразование волновых функций согласно
Ф0 = exp (iH'(0) t) ф (12,5)
(см. III § 12). Дифференцируя это выражение с учетом (12,2), получим
(12,3)х).
В силу (12,3) значения Ф0 (t) в два бесконечно близких момента времени
связаны друг с другом равенством
. Ф0 (t + 60 = [1 - m-v0 (0] ф0 (0 = exp {- ш • у0 (t)} Ф0 (0.
Соответственно значение Ф0 в произвольный момент t может быть выражено
через значение в некоторый начальный момент t0 (t0 < t) как
Ф0 (0 = S (t, t0)<D,(t9), (12,6)
где
&(t, П exp {-i6f.V0 (*,)}, (12,7)
11 - 10
причем сомножители в этом произведении расположены, очевидно, справа
налево в порядке возрастания времен tt\ подразумевается предел
произведения по всем бесконечно малым интервалам Ы между t0 и t. Если бы
V0 (t) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к
expj- i \vo(t) dtj.
Но такое сведение основано на коммутативности множителей,
взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при
переходе от произведения в (12,7) к суммированию в показателе. Для
оператора V0 (t) такой коммутативности нет и сведение
*) Уравнение (12,3) совпадает с уравнением IV (73,5), и следующий ниже
процесс его решения повторяет изложение в IV § 73.
62 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл.
и
к обычному интегралу невозможно. Вместо этого можно записать
(12,7) в символическом виде
-г: 5 ?"(*)<")• (12,8)
<0 >
где Т - символ хронологического расположения множителей в той же
последовательности, что в (12,7), т. е. справа налево от меньших времен к
большим.
Оператор 5 унитарен (5-1 = 5+) и обладает очевидными свойствами:
S(t3, t2)S(t2, *,) = $(*", fj,
s~Ht2, tjs-'it,, t2)=s-'(t3, tj.
Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формальное предположение (не
отражающееся на окончательных результатах), что взаимодействие VB(t)
адиабатически "включается" от t = - оо к конечным временам и
адиабатически "выключается" при t - -f оо. Тогда при t -"- - оо, до
включения взаимодействия, волновая функция Ф"(0 совпадаете
гейзенберговской функцией Ф. Положив в (12,6) t0 = - оо, получим
O0(t)=S(t, -оо)Ф. (12,10)
Установив, таким образом, связь между волновыми функциями в обоих
представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон преобразования
операторов, в том числе 1|)-операторов:
t = -oo)W0S(t, -оо). (12,11)
В силу унитарности 5 по такому же закону преобразуются и операторы Ф+.
- Выразим теперь функцию Грина через ^-операторы в представлении
взаимодействия *). Пусть t1 > t2\ тогда
р(Х1, Xs)=-i<i(ytj(y> =
= -i<S-i(*i, -oo )S~1(t2, - оо) X
xb"(tt)§{ta, - оо)>.
Согласно (12,9) имеем
S(tu -°o)s-i(t"-oo)=§(t1, t2)S(t2, -oo)3-i (*2t -oo)=S(tlt g,
S_1(^i> -oo) = 5"1(^1, -oo)5_1(oo, ^)5(oo, t1) =
= S~l(oo, -oo)S(oo, tj).
1) Этот вывод повторяет рассуждения в IV § 100.
S(t, 10)=Тexp
§ 12]
Т-операторы в представлении взаимодействия
63
Подставляя в предыдущее выражение, получим 0^(Хи Х2) =
= - i (оо, - оо) S (00, tx) toa (tj S (tu 12) Yjfo (g S (t2, - oo)>.
Понимая операторы 5 как произведения (12,7), мы видим, что все множители
в усредняемом выражении, начиная со второго, расположены в
хронологическом порядке справа налево от t = -оо до t = оо. Поэтому можно
написать
Ga&(Xlt Xl) = -i<^-"T[Y0e(<1)T0+9(<.)S3>, (12,12)
где обозначено
( " \
5 = 5(00, -оо) = Техр|-i J V0(t)dty (12,13)
Вычисления при tt < t2 отличаются от произведенных лишь обозначениями, и
окончательный результат (12,12-13) справедлив при любых tlf tz.
Произведенное преобразование не зависит от того, по какому состоянию
системы подразумевается усреднение. Но если усреднение производится по
основному состоянию (как в (12,12)), то преобразование может быть
продвинуто еще и дальше. Для этого заметим, что адиабатическое включение
или выключение взаимодействия, как всякое адиабатическое возмущение, не
может вызвать перехода с изменением энергии квантовой системы (см. III §
41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном состоянии (каковым и
является основное состояние), в этом состоянии и остается. Другими
словами, действие оператора 5 на волновую функцию Ф = Ф0(-оо) должно
сводиться к умножению на (несущественный для состояния) фазовый множитель
- среднее значение S в основном состоянии: 5Ф = <5>Ф. Точно так же Ф*5_1
= <5>~1Ф(r). Таким образом, окончательно получаем следующую формулу для
функции Грина, выраженной через операторы в представлении
взаимодействия1):
Юаъ(Хи X2) = -^<T[Y0a(X1)t0+p(X2)S]>. (12,14)
По смыслу этого представления усреднение в (12,14) производится по
основному состоянию системы свободных частиц.
х) Отметим некоторую условность обозначений в (12,14): хотя символ Т в
нем фигурирует дважды (в явном виде и в определении S), но в
действительности все множители в произведении должны расставляться в
единой хронологической последовательности.
64 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Г = 0 [гл. II
Действительно, свойства операторов Фо совпадают со свойствами
