Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
звука [при постоянном значении релаксационного параметра (см. VI § 78).
Уравнения (89,20-21), а с ними и (89,22) справедливы также и при наличии
дисперсии. Положив ? = ? (со) и пренебрегая членами, происходящими от г)
и и, получим после вычисления
2Тхрил (и" wo)
1°^>вк - _ о)*/А*)2 + со2т2 (и- ш2/й2 )2 '
442
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
/ГЛ. JX
§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов
Полученным в § 88 формулам (88,20-21) можно придать новый аспект, прочтя
их "справа налево", т. е. рассматривая их как выражения для коэффициентов
теплопроводности и вязкости. При этом корреляционные функции в левых
сторонах равенства можно выразить, согласно их определению, через
операторы некоторых величин, имеющих микроскопический смысл; в результате
через эти операторы оказываются выраженными кинетические коэффициенты
жидкости.
Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции между флуктуациями
"случайных" потоков энергии и импульса в различных точках пространства
(б-функция б (rt-г2) в формулах (88,20-21)) является следствием
гидродинамического приближения; последнее справедливо лишь при малых
значениях волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде,
запишем формулы в компонентах фурье-разложения по пространственным
координатам (что сводится к замене множителей 6(rt-г2) единицей) и
перейдем к пределу к-+0. Так, формулу (88,20), свернутую по паре индексов
i, k,
(g(1)g(2,)oo = 36 (г* - г,) /коТ cth ~ ¦ Re и (со) запишем в виде
Ке*(")"Ж511,Я!Й,о(!Лл- (90,1)
Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой формуле
"случайный" поток тепла g на полный поток энергии, который обозначим
через Q. Последний, как известно из гидродинамики, складывается из потока
конвективного переноса энергии и потока тепла q:
Q= (д + ш) Pv + q "рют-к\Т + g (90,2)
(до-тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем выражении опущен
член с более высокой степенью флуктуа-ционной скорости v). Но при малых к
флуктуации реальных физических величин (v, Т, р и т. п.) содержат, по
сравнению с флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень к, и потому в
пределе к->-0 флуктуации g совпадают с флуктуациями Q. Это сразу очевидно
уже из того, что в уравнении движения гидродинамических флуктуаций (88,6-
8) потоки g и sik входят только под знаком пространственных производных,
а
§ 90] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 443
указанные физические величины - также и в виде производных по времени;
после перехода к фурье-компонентам, следова-
тельно, вторые оказываются порядка /г/со по отношению к первым.
В отличие от g, полный поток энергии Q есть величина, имеющая прямой
механический смысл, и ей отвечает определенный квантовомеханический
оператор Q(t, г), выражающийся через операторы динамических переменных
частиц среды. Вспомнив определение корреляционной функции через операторы
(гейзенберговские) соответствующей величины, приходим, таким образом, к
формуле
Re я (со) = -г^- th ^ X v ' 6ЛшТ 2Г
со
хПпА J el(af~kr) <Q (t, г) Q (0, 0) + Q(0, 0)Q(f, r)>dtd*x (90,3)
k-*0 _ go
(M. S. Green, 1954).
Более целесообразное представление функции й(со) получится, однако, если
воспользоваться формулой, выражающей корреляционную функцию через
коммутатор соответствующих операторов.
Если ха(г), хь(г)-две флуктуирующие величины (равные нулю в равновесии и
ведущие себя одинаковым образом при обращении времени), то их
корреляционная функция, согласно
(76,1) и (75,11), может быть представлена в виде
(41)42>)o) = cth^ R е^еш <.{xa(t, rt), *ь(0, г 2)}>dt, о
где скобки {.,.} означают коммутатор. Перейдя к фурье-разло-жению по
координатам г = гх-г2, получим формулу
ta)(r)k=cth^.ReJJe'("<-^)<{i(f, г), хь(0, 0)}>dtd*x. (90,4)
о
Применив эту формулу к корреляционной функции (Q%k и подставив в (90,1),
получим
CD
Re я (со) =д^Иш Re ^ j* е'(t0<-kr) <{Q (t, г), Q (0, 0)}>dtd*x.
Справа и слева в этой формуле под знаком Re стоят функции со, стремящиеся
к нулю при со-*-оо и не имеющие особен-
444
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. IX
ностей в верхней полуплоскости комплексной переменной га. Из равенства
вещественных частей таких функций на вещественной оси м следует также и
равенство самих функций, и мы приходим к окончательной формуле:
СО
= f fe''^-kr><{Q(^ г), Q (0, 0 )}>d'td3x. (90,5)
" k-*0 J ^
Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопроводности, надо
затем перейти и к пределу га->-0.
Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88,21) и получить
операторное выражение для коэффициентов вязкости.
Если ввести полный поток импульса aik - - Рб//г + о^ (pik из (88,9)), то
в пределе к->-0 флуктуации всех членов, кроме sik, обратятся в нуль, так
что в этом пределе можно заменить корреляционную функцию (sikslm)a1l на
(о^а^ик • В результате получим формулу
т] (со) (^8и8кт + б,-тб/,г--3- бlVs6Г/га^ + ? (со) 8ik$[т =
со
= ^-lim Г Ce*<a<-kr)<{cr/ft(*, г), о1т (0, 0 )}>dtd4, (90,6)
" к-*0 J J
где oik(t, г) - оператор плотности потока импульса (Я. Mori, 1958).
