Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
- m (V* (г) v$ (0))щ+>-vA (vp (г) vp (0))<+> = <v</> (г) vjf> (0)>
(где справа стоит одновременная корреляционная функция), или, переходя к
фурье-компонентам по координатам:
-Ш-
§ 89]
ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
439
Одновременная корреляционная функция флуктуаций скорости дается формулой
(88,5); перейдя в ней к фурье-компонентам и отделив поперечную часть,
имеем
{vM% (б"-. (89)]6)
Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим1)
(v? vpu = 2 Re (vM%V = f • (89,:Г7)
Для остальных переменных имеем систему связанных друг с другом уравнений
(89,10), (89,12), (89,14). Эта система, однако, упрощается в предельных
случаях больших или малых частот. Дело в том, что возмущения продольной
скорости и давления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а
возмущения энтропии-согласно уравнению теплопроводности. Последний
механизм требует времени ~ 1/х^2 Для распространения возмущения на
расстояние ~l/k (% = к/рср-температуропроводность среды). Поэтому для
частот, удовлетворяющих (при заданном значении волнового вектора) условию
%№ а) ~ /ем, (89,18)
можно считать, что флуктуируют только vu> и Р при постоянной энтропии.
Напротив, при
%k2 ~ a <ZZ.ku (89,19)
происходят изобарические флуктуации энтропии 2).
Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89,18) и определим,
например, флуктуации давления.
Уравнение (89,14), переписанное для корреляционных функций, имеет вид
?<va)(t, г) 8Р (0, 0)> = -grad<6P(t, г) 8Р (0, 0)> +
+ + у) grad div <vU) (t, г) бР (0, 0)>,
а начальным условием к нему служит равенство нулю одновременной
корреляции vu> и б Р. Произведя одностороннее преобразование Фурье по
времени и полное преобразование по
х) Легко видеть, что путем интегрирования выражения (89,17) по da>/2n мы
вернемся, как и следовало, к одновременной корреляционной функции.
2) Неравенство %k2 ku выполняется в гидродинамической области всегда.
Так, в газах u^vT и %~vTl, где t>?-средняя тепловая скорость частиц, а I-
их длина пробега. Поэтому неравенство yk<^u эквивалентно обязательному
условию й/ 1.
440
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. IX
координатам, получим отсюда
-щр(у">6Я)&>- -/к (бЯ%+к)-(с + ?) к(ку'"бЯ)(,+). (89,20)
a <35s/di выражаем с помощью уравнения (89,10), написанного
в виде
(членом с A6s в правой стороне пренебрегаем по сравнению с ddsidi в силу
условия %/г2<^со). Это приводит к уравнению
Соответствующее уравнение для корреляционных функций снова получается
отсюда заменой б Р и vU) соответственно на <6Pit, r)6iD(0, 0)> и <va>(t,
г)8Р(0, 0)>, а начальным условием к нему служит (88,3). После фурье-
преобразований это уравнение дает
Из двух уравнений (89,20-21) находим после некоторых преобразований
- коэффициент поглощения звука в среде (см. VI § 77), а ут - его
часть, связанная с теплопроводностью. Выпишем окончательный ответ для
области частот вблизи значений co = d-ku, где флуктуации особенно велики:
Эта формула справедлива при ] со -\-ku |<ыу ')•
х) Напомним (см. VI § 77), что гидродинамический коэффициент поглощения
звука всегда мал в газах (неравенство у <^.k автоматически^ следует из
условия kt 1) и мал в жидкостях, в которых нет существенной дисперсии
звука.
Далее, в уравнении (89,12) пишем
р
6s =
(дТу и2 dt Т \дРJs
{jjp'j АбР+р div уш = 0.
[_g + ^P j (8P%l) + ip(W"8P)lX> = pT. (89,21)
(8Р2)ак = 2 Re (8P2)^ = 2 Re
k2pTui(i-\-2fTa>/ijk2) со (co2-fe2u2 + 2icoHY) '
где
(89,23)
(89,24)
§ 89] ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 441
В низкочастотной области (89,19) достаточно рассмотреть, как уже было
указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при этом флуктуациями давления.
Это значит, что в уравнении
(89,10) можно положить
8Т & (^) 8s= - 8s
\',ds j Р ср
(теплоемкость ср относится к единице массы). Поэтому для искомой
корреляционной функции имеем уравнение того же типа, что и (89,15), а
начальное условие к нему дается выражением (88,4). В результате найдем
2 с
= (89,25)
Задачи
1. Найти корреляционную функцию флуктуаций числа растворенных частиц в
слабом растворе.
Решение. Плотность п числа растворенных частиц удовлетворяет урав*. нению
диффузии
дп .
¦зт = D\n at
(D-коэффициент диффузии). В слабом растворе одновременные значения
плотности в различных точках пространства не коррелированы друг с другом
(подобно отсутствию одновременной корреляции для плотности идеального
газа); поэтому одновременная корреляционная функция
<6/i (ri) 8п (г2)> = я6 (ri-г2).
Аналогично формуле (89,25), находим
2nk2D tok - 0)2 + ?4?>'
В этом решении мы пренебрегаем термодиффузней, вследствие чего
.флуктуации п могут рассматриваться независимо от флуктуаций температуры.
2. Найти корреляционную функцию флуктуаций давления в- жидкости,
обладающей большой диспергирующей второй вязкостью ? (со) (связанной с
медленной релаксацией некоторого параметра).
Решение. Наличие медленных процессов релаксации приводит к появлению
второй вязкости вида
С <"* = r=fe;
где т-время релаксации; иа - равновесная скорость звука; и" - скорость
