Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
г2).
(88,1)
Аналогичным образом записываются формулы для флуктуаций других
термодинамических величин:
(Р-давление; s - энтропия единицы массы среды); при этом флуктуации пар
величин р, Т и Р, s независимы. Выпишем также формулу для флуктуаций
макроскопической скорости жидкости v (равной нулю в равновесии):
Специфичным для гидродинамики является вопрос о временных корреляциях
флуктуаций, а также вопрос о флуктуациях в движущейся жидкости. Решение
этих вопросов требует учета диссипативных процессов в жидкости-вязкости и
теплопроводности.
Построение общей теории флуктуационных явлений в гидродинамике сводится к
составлению "уравнений движения" для флуктуирующих величин. Это может
быть сделано путем введения соответствующих дополнительных членов в
гидродинамические уравнения (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц-, 1957).
Уравнения гидродинамики, написанные в виде
х) Эта и следующие формулы для одновременных корреляций в случае газов
справедливы для флуктуаций с длинами волн, большими лишь по сравнению с
межмолекулярными расстояниями, но не обязательно большими по сравнению с
длиной пробега. Последнее условие требуется, однако, для разновременных
корреляционных функций в гидродинамическом приближении (поскольку
микроскопический механизм распространения вбзмущений в газах определяется
именно длиной пробега частиц).
<б5(Г1) 65(Г2)> = ^МГ1- Г2)
(88,4)
<бvt (rj 8vk (r2)> = у 8ih8 (Г?-r2).
(88,5)
(88,6)
(88,7)
(88,8)
434
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[гл. IX
без спецификации вида тензора напряжений o'ik и вектора потока тепла q,
выражают собой просто сохранение массы, импульса и энергии. Поэтому в
такой форме они справедливы для любого движения, в том числе для
флуктуационных изменений состояния жидкости. При этом под р, Р, v надо
понимать сумму значений величин р0, Р0, v0, . . . в основном движении и
их флуктуационных колебаний 8р, 6Р, 8v, ... (по последним, конечно,
уравнения всегда могут быть линеаризованы).
Обычные выражения для тензора напряжений и потока тепла связывают их
соответственно с градиентами скорости и градиентом температуры. При
флуктуациях в жидкости возникают также местные спонтанные напряжения и
потоки тепла, не связанные с указанными градиентами; обозначим их
посредством sik и g и будем называть "случайными". Таким образом, пишем
(т], ? - коэффициенты вязкости; к - коэффициент теплопроводности).
Задача заключается теперь в установлении свойств sih и g - в определении
их корреляционных функций. Для простоты проведем все рассуждения для
естественного в гидродинамике случая неквантовых флуктуаций; это значит,
что частоты флуктуационных колебаний предполагаются удовлетворяющими
условию %(л<^.Т. При этом коэффициенты вязкости и теплопроводности будем
считать не диспергирующими, т. е. не зависящими от частоты колебаний.
В общей теории флуктуаций (изложенной в V §§ 119-122) рассматривается
дискретный ряд флуктуирующих величин xt, х2, . . ., между тем как здесь
мы имеем дело с непрерывным рядом (значения р, Р, . . . в каждой точке
жидкости). Это несущественное затруднение мы обойдем, разделив объем тела
на малые, но конечные участки AV и рассматривая некоторые средние
значения величин в каждом из них; переход к бесконечно малым элементам
произведем в окончательных формулах.
Будем рассматривать формулы (88,9-10) в качестве уравнений
у 6,-jdivvj +?6/Adivv + s,.A, (88,9)
(88,10)
q = - куТ + g
ха - VabX-b + Уь
(88,11)
ь
общей теории квазистационарных флуктуаций (см. V (122,20)), причем в
качестве величин ха выберем значения компонент тензора a'ik и вектора q в
каждом из участков AV\ тогда величи-
§ 88]
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
435
нами уа являются sik и g:
Уа
y(r)Ikr Qit
Si-
(88,12)
Смысл же термодинамически взаимных величин Ха выясняется путем
привлечения формулы для скорости изменения полной энтропии жидкости 5.
Обычным путем (ср. VI § 49) с помощью уравнений (88,8-10) находим
Заменив этот интеграл суммой по участкам AV и сравнив его затем с
выражением
Теперь легко найти коэффициенты уаЬ, непосредственно определяющие искомые
корреляции согласно формулам
(см. V (122, 21а)).
Прежде всего замечаем, что в формулах (88,9-10) нет членов, которые
связали бы a'ik с градиентом температуры, a q -¦ с градиентами скоростей.
Это значит, что соответствующие коэффициенты уаЬ = 0 и в силу (88,15)
имеем
т. е. значения sik и g вообще не коррелированы друг с другом.
Далее, коэффициенты, связывающие значения q{ со значениями (ДУ/Г2)
dr/d*,-, равны нулю, если эти величины взяты в разных участках АУ, и
равны yik = KT28ik/AV, если они берутся в одном и том же участке. С этими
значениями уаЪ по формуле (88,15) получим после перехода к пределу &V ->-
0:
Аналогичным образом получаются формулы для корреляционных функций
случайного тензора напряжений
(88,13)
5 = -2Яха,
а
найдем, что
(88,14)
<Уа (*l) Уъ (**)> = (УаЬ + Уьа) S (* х - *,)
(88,15)
(88,16)
<&(*!. "ч) ?*(*.. r2)> = 2x7'2Slft6 (i\-r2) 8 -t2). (88,17)
