Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
откуда и следует (87,9).
Собирая полученные формулы (87,7-9), найдем, таким образом, следующее
правило сумм для формфактора жидкости
*¦) Корреляционная функция (87,6) отрицательна (что соответствует
отталкиванию между частицами) в противоположность корреляционной функции
идеального бозе-газа, где она положительна (см. V § 117). В связи с этим
напомним (§ 25), что в слабо неидеальном бозе-газе энергетический спектр
имеет фононный вид лишь при к<^ти/% (причем %/ти^>а). Соответствующие
расстояния г ~ так что при переходе к идеальному газу (и->-0)
область применимости формулы (87,6) отодвигается на бесконечность.
г) Величина a(a> = 0, г) вещественна в силу общих свойств обобщенной
восприимчивости. Вещественность фурье-компоненты a(a> = 0, к) следует
отсюда ввиду четности функции а (со, г) по г,
§ 87] ПРАВИЛО СУММ ДЛЯ ФОРМФАКТОРА 431
при Т = 0:
jih
Г , " n\d(?> дп
\o((o,k-+Q) - = w (87,10)
(D. Pines, Ph. Nozieres, 1958).
Задача
Найти корреляционную функцию v (г) в бозе-жидкости на расстояниях г 55
hu/т при температурах Т
Решение. Искомая корреляционная функция определяется формфактором при
значениях k - 1 /г ^Т/%и <^. I/а, для которых энергетический спектр
жидкости-фононный. При Т Ф 0 в 0 (со, k) имеется член с б (са + йм),
отвечающий поглощению фонона, наряду с членом с б (со - ku), отвечающим
испусканию фонона. Коэффициенты в этих членах можно определить с помощью
(86,14) и (87,3):
а( со, k) =^ [1- -1 {6 (со - ku) + e~Uu/T 8 (o, + ku)}, (1)
Интегрируя это выражение, находим
hk tiku
0 2mu ~2Т~ &
и затем
CD
dsk h f ,lr" hku
v J о (k) j k> cth
2 T dk'
Замыкая путь интегрирования no dk бесконечно удаленной полуокружностью в
верхней полуплоскости комплексного к, сводим интеграл к сумме вычетов в
полюсах (расположенных на мнимой оси). При r^>1iu/T главный вклад в
интеграл возникает от вычета в полюсе при %ku/2T = in:
v (/•) = -
2пТ3 г 2яТ \
уехрг^)- (3)
mw
ф,
При условии аТ/%и<^. \ характерное расстояние затухания функции v (/•)
оказывается много большим межатомных расстояний, на которых убывают
эффекты, связанные с прямым взаимодействием между атомами. При этом в
формулу (3) существенно входит h, так что описываемая ею корреляция имеет
квантовый характер. Отметим, что при выводе мы пренебрегали вкладом ван-
дер-ваальсовых сил. Как следует из результатов § 83, этот вклад имеет
степенной характер и является главным на достаточно больших расстояниях.
Расстояния, на которых' происходит переход от (3) к (83,16), зависят от
конкретного соотношения между коэффициентами, но область применимости
формулы (3) всегда имеется при достаточно низких температурах, поскольку
на границе области применимости при г ~ %и/Т, согласно (3), v Г4, а
согласно (83,16), v со гг.
432
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
[ГЛ. IX
§ 88. Гидродинамические флуктуации
В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации^ плотности жидкости
при произвольных частотах со и волновых векторах к. При этом, разумеется,
конкретный вид корреляционной функции не мог быть найден в общем случае.
Это можно, однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина волны
флуктуаций велика по сравнению с характерными микроскопическими размерами
(межатомными расстояниями в жидкости, длиной свободного пробега в газе).
Вычисление одновременных корреляционных функций флуктуаций плотности,
температуры, скорости и т. п. в неподвижной жидкости не требует особого
исследования: эти флуктуации (в классическом, т. е. неквантовом пределе)
описываются обычными термодинамическими формулами, справедливыми для
любой среды, находящейся в тепловом равновесии. Корреляции между
одновременными флуктуациями в различных точках пространства
распространяются на длины порядка величины межатомных расстояний (при
этом мы пренебрегаем слабыми дально-действующими ван-дер-ваальсовыми
силами). Но эти расстояния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно
малые. Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные флуктуации в
различных точках не коррелированы. Формально это утверждение следует из
аддитивности термодинамической величины-минимальной работы Rm\a,
требуемой для осуществления флуктуации. Поскольку вероятность флуктуации
пропорциональна ехр(-RmiJT), то, представив Rmln в виде суммы членов,
относящихся к отдельным физически бесконечно малым объемам, мы найдем,
что вероятности флуктуаций в этих объемах независимы друг от друга.
Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать известные формулы
для средних квадратов флуктуаций термодинамических величин в заданной
точке пространства (см. V§ 112) в виде формул для корреляционных функций.
Так, согласно формуле
"бг)2> = ??
для флуктуаций температуры в объеме V (р - плотность;
cv -теплоемкость, отнесенная к единице массы среды) пишем сначала
*
<6Г(га)бГ(г6)>=^6аЬ, где флуктуации относятся к двум малым объемам V9 и
Vb.
§ 88J
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
433
Устремив затем величину объемов к нулю, получим1) <бГ(г1)бГ(г2)> = ^б(г1-
