Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
F = N\n(2S +1)-+ (72,16)
В этом выражении нас интересуют члены, содержащие §2; только эти члены
дадут вклад в восприимчивость. Опустив все остальные члены и заметив, что
при усреднении нечетные степени компонент спина обращаются в нуль,
получим
Р_ (2р§)2 ул (2Р§)2 1 ОГ 7о"п wo n ч
г - 2Т 2ши * ' 2Г8 2 2ш* mn \ п пг/
n n ^ m
Средние значения
SnzSnx - SnzSny = 0, =5 (S -f-1)/3.
Таким образом,
^ = -3^Pa§WS(5 + 1)-|pa§WS"(5 + 1)a ?
q 7k 0
и отсюда окончательно восприимчивость
X-aSLg+M Г! + *!§+>> ?у,1. (72,17)
L Ч^о J
Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квадратных скобках
зависит от знака обменного интеграла.
х) Последующее вычисление свободной энергии соответствует вычислениям в V
§ 73, продлевая их до следующего члена разложения.
360 МАГНЕТИЗМ 1гл. VII
Задачи
1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся
гамильтонианом (72,1), при температурах T^>J.
Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням 1/Т возникает от
члена -Е2/2Т в свободной энергии (72,16). Усредняя тем же способом
квадрат гамильтониана (72,1), получим
F2 = -2 V J2 S S-ЗГ o--_3S"(S+l)" N ji
4 2шЛ i"u mrmJ m^nfe 9 2 4
m Фn Чфй
(так как S,Sft = S (S+ 1) S,-j,/3). Для теплоемкости находим в результате
NS2 (S+1)" ^ ,,
маг ~ бга 2^ 9
Ч?=0
в соответствии с V (73,4).
2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить
намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между р§ и Т.
Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)
, • V г~п ( sh[2p$(S+W]
z- Ъ ехР \-Ts*)-----------------^ТЩГ) •
г- -
Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по ?>, находим
намагниченность
(L. Brillouin, 1927). При Р^<^Г это выражение переходит в (72,15). В
обратном пределе, при р§^>Г, намагниченность стремится к своему
номинальному значению по закону
__ 2PN f, W\
м = -и~ < 1- ехр
§ 73. Взаимодействие магнонов
т j
}•
Существенный методический интерес представляет вопрос
о вкладе в магнитную часть термодинамических величин ферромагнетика,
происходящем от взаимодействия магнонов; напомним, что вычисления в § 71
были основаны на представлении об идеальном газе невзаимодействующих
магнонов. Рассмотрим этот вопрос для системы, описываемой обменным
спиновым гамильтонианом (72,1).
Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого порядка по малому
отношению Т/Тс, мы можем ограничиться лишь парным взаимодействием
магнонов. Это значит, что надо рассмотреть двухмагнонные состояния
системы, в которых проекция полного спина равна NS-2.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ
361
Такой проекции отвечают волновые функции %пп = [45(25 1)] 1/,35п-5п-
Хо>
Xmn - (25) J5m_5n-Xo> m^n;
поскольку операторы спина различных атомов коммутативны, ТО Xmn = Xnm1)-
Функции (73,1) нормированы условием ХшпХшп = 1, в чем легко убедиться,
раскрывая произведение таким же образом, как это было сделано для
проверки нормировки в (72,9). Тем же способом можно убедиться и во
взаимной ортогональности различных функций %mn.
Функции (73,1) не являются сами по себе собственными функциями
гамильтониана. Волновые же функции двухмагнонных стационарных состояний
системы должны представлять собой определенные линейные комбинации
функций %т", которые запишем в виде
^ ^шпХшп + ^ ^ппХпп (73,2)
Ш Ф П П
(поскольку Хтп и Xnm - одно и то же, то надо полагать и 'ipmn = 'tnm)-
Совокупность коэффициентов орпш составляет волновую функцию в
представлении, в котором независимыми переменными являются номера атомов
в решетке. Множитель 1/^2 в первой сумме в (73,2) введен для того, чтобы
квадрат модуля |%|2 был равен сумме 2|i|)mn|3, в которой каждая из
различных г|)т" встречалась бы лишь один раз.
Тем же способом, которым было найдено уравнение (72,11) для волновых
функций одномагнонных стационарных состояний, найдем, что функции (73,2)
должны удовлетворять аналогичному уравнению
Е Sm-5"-bo+
m ф n
в-8-"*' (73'3)
П
где теперь ? = Е-Е0 - энергия двух взаимодействующих друг с другом
магнонов (а скобки {•••} означают коммутатор).
Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения (73,3). Для этого
замечаем, что
{Н, 5т.5"_}^{Я, 5т_}5"-+5т_{Я, 5П_},
J) Если спин S= 1/2, то двукратное применение одного и того же оператора
§п- к функции основного состояния хо обращает ее в нуль. В этом случае,
следовательно, все "диагональные" функции %пп = 0.
362 МАГНЕТИЗМ [гл. VII
и используем выражения (72,12) для коммутаторов {Н, 5"_}. После этого с
учетом правил коммутации (72,4) переставляем операторы Sz в крайнее
правое положение, где они, воздействуя на функцию умножают ее на S. В
результате получим
{Н, 5щ_5п-} Хо 2 [Ут1 (*§m- -Sl_)5n_ +
+ /nl (5n_ -5,_) 5m_] Хо + бШп 2 Jnl5n_5l_Xo - Jmn<5m-5n_Xj +
+ 4p^5m_5n-Xo> (73,4)
для упрощения записи формул ограничения, налагаемые на индексы
суммирования, не выписываются-суммирования производятся по всем значениям
1, по при этом подразумевается, что все "диагональные" Jn - 0.
Дальнейшая процедура сводится к подстановке (73,4) в уравнение (73,3) и
